§ 8. Построение графиков функций

Общая схема построения графиков функций

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической*.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график, используя получен­ные результаты исследования.

31. Построить график функции у = х³ — — 6л:² + 9л:—3.

О 1. Функция определена на всей числовой прямой, т. е. Z>(y) = R.

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периоди­ческой.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х=0, получим у=—Ъ. Точки

³⁵ пересечения графика с осью Ох в данном случае

найти затруднительно.

2. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

3. Найдем производную: у' — Ъх²— 12х+9. Далее, имеем (Зх²— 12x4-9 =

Г * =

=0)о(х² — 4х4~3=0)оI ’ Точки х= 1 и х=3 делят область определения |_х = 3.

функции на три промежутка: —оо<х<1, 1<х<3 и 3<х<оо. В промежутках

• оо<х<1 и 3<х<оо j>'>0, т. е. функция возрастает, а в промежутке 1<х<3 /<0, т. е. функция убывает. При переходе через точку х=1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=3—с минуса на плюс. Значит, у_тах=у(1)= 1, у_тт=у(3)= — 3.

2. Найдем вторую производную: у" = 6х—12; 6х—12 = 0, х=2. Точка х=2 делит область определения функции на два промежутка — оо<х<2 и 2<х<оо. В первом из них j>"<0, а во втором /'>0, т. е. в промежутке

• оо<х<2 кривая выпукла вверх, а в промежутке 2<х<оо выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; —1).

2. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 35). #

X²'

62. Построить график функции У——у

• оо <х<3

О 1. Находим область определения функции: D(y)=\

|_3<х< оо.

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. При х=0 получим j=0, т. е. график проходит через начало координат.

4. Так как lim /(х)=± оо, то прямая х=3 служит вертикальной

*-»3±0 асимптотой графика.

Далее находим:

*= lim ^f-^= lim -^-r=l,

Jt->±oo * jc ± oo X (x 3)

Г x² 1 3x b= lim [/(x)—kx] = lim —x 1= lim -=3.

jt-*±oo x-»±oo|_^ — 3 J x-* + oo X — 3

Следовательно, прямая у=х+Ъ является наклонной асимптотой графика.

2. Находим

2х(х—3) — х² х² —6х х(х—6)

^у рПр =(^⁼(^ГЗ)Т-

Производная у' обращается в нуль в точ­ках х=0 и х = 6 и терпит разрыв при х=Ъ. Этими точками числовая прямая де­лится на четыре промежутка: — oo<x<0,

О <л:<3, 3<лг<6 и 6 <х<оо. Исследуем знак у' в каждом из них; очевидно, что />0 в промежутках — оосхсО и 6<х<оо (в этих промежутках функция возрастает) и у'<0 в промежутках ОсжЗ и 3 <х<6 (в этих промежутках функция убывает). При переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, т. е. это точка максиму­ма, а при переходе через х = 6—с минуса на плюс, т. е. это точка минимума. Находим Утах ~У (0) ⁼ 0, Ут'т ~У (6) ⁼ 12.

2. 

   18

   Находим

У =

(2х—6)(х—З)² — 2(х—3) (х² — 6л:)

(*-3)³

(*-3)^{4 =}

Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х = Ъ. В промежутке — oo<x<3 имеем у"< 0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке 3<х<оо имеем у">0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет.

2. На основании полученных данных строим график функции (рис. 36). ф

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

63. 1) у—2х² — 8лг; 2) у=— Зх²+\2х; 3) у=х² + 5х+4; 4) у= = — х ² + 2х +15.

64. \) у = ^х³ — 9; 2) у = х³ — Зх; 3) у=Зх³—х; 4) у=— х³+х.

65. 1) у=-х⁴; 2) у=-_$х⁵.

66. 1) у = х³ + 6х² + 9л:+8; 2) у = 2х³ — Зд:²— 12л:— 1; 3) у=х³ —

6х²+16; 4) ^ = 2лг³ + Зх²—12х—10.

63. 1) у = х⁴-5х²+4; 2) у= -х⁴ + 8х² + 9.

64. 1) у=^\ 2) у=- ¹

х²+1

X

69. 1) у^-г-А 2)

х²-4’

1-х²' х²—4

1. 70. 1) у=

   • ₂) _J_(^x+¹)(^jc+8)

х² — 7х+\2

з

6-х³

71. 2) у=

    1) у =

х —I

71. 1) у=х—у/х; 2) у=х² у/х—3.

72. 1) j=ln(x² + l); 2) у=х In*.

73. 1) у=3^11х; 2) у=е~^х\

74. 1) у=(х-\)е^х; 2) у=х²е~^х.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

1. Найдите промежутки монотон­ности функции _у= —-х³4--х²4-1.

2. Найдите наименьшее и наи­большее значения функции '=з*³⁺

4- -х² —2х— - на отрезке — 2<х<2.

3

3. Найдите промежутки выпук­лости и точки перегиба кривых:

а) у=х³ + Зх²; б) >>=^х³—4х.

4. Дан закон прямолинейного

¹ з ¹ 2 ¹ движения точки s= — г + -t + -/4-

5. 2 2 + 1 (/ — в секундах, s—в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

2. вариант

1. Найдите промежутки монотон­ности функции у = х⁴—4x4-4.

2. Найдите наименьшее и наи­большее значения функции у=-х³ +

4-*² — Зх—4 на отрезке —4<х<2.

3. Найдите промежутки выпук­лости и точки перегиба кривых:

а) у=х^г — 12х²4-145; б) _у=^х³4-

₂ 1 + х +

4. Дан закон прямолинейного

движения точки s= — -t³ + 3t² + 5t+3

(t—в секундах, s—в метрах). Най­дите максимальную скорость дви­жения этой точки.