§ 6. Направление выпуклости графика функции

Кривая y=f (х) называется выпуклой вниз в промежутке а<х<Ь, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис. 33, а).

Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке а<х<Ь, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис. 33,6).

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f (jc), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке /" (jc) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же /"(*)< 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

)

31. Исследовать на направление выпуклости кривую / (х) = 1 /х в точках xi = —2 и *2 = 1.

О Находим /'(*) = — Х/х²,/" (х) = 2/х³. Подставляя во вторую производ­ную значения Xi = —2 и х₂ = 1, получим /"(—2) = 2/(—2)³<0, /"(1) = 2/1 >0. Таким образом, в точке х=—2 кривая выпукла вверх, а в точке х=1— выпукла вниз, ф

31. Найти промежутки выпуклости кривых: 1) /{х) = х^ъ\ 2) /(х) = х⁴ — 2х³ + 6х—4.

О 1) /"(*)< 0, 0 <лг< оо (рис. 34).

Находим /'(х) = 3х²,/" (х) = 6х. В промежутке — оо<х<0 имеем т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх; в промежутке имеем /" (х) > 0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вниз

2. Находим /'(*) =4х³ —6х² + 6, f" (х) = = 12х² —12х= 12х(х—1). Очевидно, что в проме­жутках — оо<х<0и1<х<оо выполняется неравенст­во/" (х)> 0, т. е. в этих промежутках кривая выпукла вниз, а в промежутке 0<х<1 имеет место неравенство /" (х) < 0, т. е. в этом промежутке кривая выпукла вверх, ф

31. Исследуйте на направление выпуклости кривые: 1) у — — 1/х в точках Xi = — 1 и х₂ = 1; 2) у= 1/х² в точках xi = —2 и х₂=1. Найдите промежутки выпуклости кривых:

32. 1) у = 2х³; 2) >; = х²; 3) .у=-х²-1; 4) у = х² + Зх—1.

33. 1) у = х³-6х² + 2х—6; 2) >> = х⁴ —2х³ —12х² + 24х + 8.

§ 7. Точки перегиба

Точка графика функции y—f(x), разделяющая промежутки выпук­лости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадле­жащие области определения функции y—f (х), в которых вторая производная /" (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку х₀ вторая производная /" (х) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х₀; / (х₀)).

Пр авило нахождения точек перегиба графика функции y—f{x)

1. Найти вторую производную f"(x).

И. Найти критические точки функции y=f(x), в которых /" (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной /"(¹) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции / (х). Если при этом критическая точка х₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то х₀ является абсциссой точки перегиба функции^

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

31. Найти точки перегиба кривых: \)f{x)=bx²-x\ 2)f(x)=x+*/P'-2.

О 1) Находим /' (х)= 12х—Зх², /" (х) = 12 —6х. Полагая /" (х)=0, полу­чим единственную критическую точку х=2. Так как в промежутке

• оо<х<2 имеем /" (х)>0, а в промежутке 2<х<оо имеем /"(х)<0, то при х=2 кривая имеет точку перегиба. Найдем ординату этой точки: /(2)= 16. Итак, (2; 16)—точка перегиба.

Находим /' (х)= 1 + - \fx*, f ^,(^х)=—' —7=* Здесь критической явля- ^{3 9} \/х

ется точка х=0, в которой вторая производная терпит разрыв. Очевидно, что /"(х)<0 в промежутке — оо<х<0 и /" (х)>0 в промежутке 0<х<оо, т. е. кривая при х=0 имеет точку перегиба (0; —2). ф

Найдите точки перегиба следующих кривых:

31. 1) f (х) = х³ —х; 2) >^=^x³ —Зд:² + 8д:—4.

32. 1)/(jc)=jc⁴-10jc³ + 36jc²-100;

2. f(x)=x⁴ — 8д:³ + 18л:²—48x + 31;

3. /(х)=д:⁴ —6д:³4-12л:²—10.

31. 1 )f(x)=xe-^x; 2) f(x) = e~^x\