§ 5. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин

31. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого площадь наибольшая.

О Пусть периметр прямоугольника равен р. Обозначим длину одной из

р—2х

сторон прямоугольника через х, тогда длина другой стороны равна —-—= р

=^ — х. Обозначив площадь прямоугольника через у, имеем

У=^х I \

-xj=^x-x²

Исследуем функцию на максимум и минимум с помощью второй произ­водной:

Вторая производная отрицательна, следова­тельно, функция имеет максимум при х=р/4. Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. #

31. 

    h

    а

    Рис. 32

    В мально освещена у ее границы?

    О Из курса физики известно, что осве­

    На какой высоте h надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса а, чтобы площадка была макси-

щенность Е обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормалью к поверхности с направлением светового потока), т. е.

где к зависит от силы источника света, помещенного в точке А (рис. 32). Из треугольника ОАВ имеем cos ос=Л/r и r=y/h² + a². Приняв h за независи­мую переменную, получим

Исследуем функцию на экстремум с помощью первой производной:

(h² + a²)^ll2(h²+a²-3h²) (h²+a²)³

£' = £•

(h²+a²)³>²-j(h²+a²)¹'²-2h-h

(h²+a²f

а

; Е = 0 при я=—г

=к-

V2"

(й² + а²)⁵'² (h² + a²)⁵¹²

Так как £'>0 в промежутке 0<h<a/y/2 и Е'<0 в промежутке а/у/2 <

<й<оо, то при h=ajyj2 функция имеет максимум, т. е. при значении h=aly/l «0,7а освещенность в точке В является наибольшей. #

31. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением s= — t³ + 9t² — 24/—8. Найти максимальную скорость движения тела (^—в метрах, /—в секундах).

О Скорость движения тела есть первая производная от пути по времени: i?=s" = — 3/²4-18/—24. Исследуем эту функцию на максимум и минимум с помощью второй производной:

t?" = — 6/4-18; -6/4-18=0; / = 3; v" = —6.

Вторая производная отрицательна, следовательно, скорость является наи­большей при^=3. Найдем значение скорости в момент /=3:

v (3)= — 3 * З² 4-18 • 3—24 = 3 (м/с). •

31. Сумма двух положительных чисел равна а. Каковы эти числа, если сумма их кубов является наименьшей?

31. Произведение двух положительных чисел равно а. Чему равны эти числа, если их сумма Является наименьшей?

32. Каким должен быть прямоугольник наибольшей площади, который можно согнуть из куска проволоки длиной 50 см?

33. Из всех прямоугольников Данного периметра 2р найдите тот, у которого диагональ наименьшая.

34. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

35. В полукруг радиуса R впишите прямоугольник наиболь­шей площади.

36. В полукруг радиуса R впишите прямоугольник наиболь­шего периметра.

37. Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты равна а, найдите тот, у которого площадь наибольшая.

38. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наиболь­шую площадь?

39. В треугольник, основание которого а и высота h, вписан прямоугольник наибольшей площади (основание прямоугольника лежит на основании треугольника). Найдите длины сторон прямо­угольника.

40. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны а и b, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите длины сторон прямо­угольника.

41. В равносторонний треугольник с периметром Ът вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите длины сторон пря­моугольника.

42. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением s=— /³ + 3/²+9/+3. Найдите максимальную скорость движения тела (s—в метрах, /—в секундах).

43. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, задан уравнением s = v_ot—0,5gt². Найдите наибольшую высоту подъема тела.

44. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх, задан уравнением s= 19,6f—4,9f². Найдите наибольшую высоту подъема тела (s—в метрах, t—в секундах).