§ 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

Если/ есть производная от функцииy=f (х), то производная от у' по х (ес­ли она существует) называется второй производной (или производной второго порядка). Для второй производной употребляются следующие обозначения:

„ „ d²y d²f(x)

у , у_х, —₂ или / (*),

Пра вило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

1. Найти производную fix).

И. Найти критические точки данной функции, в которых /' (х)=0.

3. Найти вторую производную /"(*)•

4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических то­чек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то—минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с по­мощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

10. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции:

1. /(х) = х² — 2х—3; 2) /(х) = х³ —9х² + 24х—12.

О 1) Находим производную: /'(*) = 2х—2. Решая уравнение /'(*)=О, получим критическую точку х=1. Найдем теперь вторую производную: /" (х) = 2. Так как вторая производная в критической точке положительна, то при х= 1 функция имеет минимум: /_min =/(1) = —4.

2. Находим /'(х) = 3х² — 18x4-24; (Зх²— 18х4-24=0)<*>(х² — 6х4-8 = 0)о

Г х=2,

о\ ’ Найдем теперь /"(х) = 6х—18. Определим знак второй производ- L*=4.

ной в критических точках. Так как /" (2) = 6-2 —18<0, то при х=2 функция имеет максимум; так как /"(4)=6-4—18>0, то при х=4 функция имеет минимум. Вычислим значения функции в точках экстремума: /_тах = / (2) = 2³ — йй-9-2²4-24-2-12 = 8, /_min=/(4)=4³-9*4²4-24-4-12=4. •

Исследуйте на экстремум с помощью второй производной следующие функции: 27. 1) /(х) = 2х² —3; 2) /(х) = х²-2х; 3) /(х) = 2х²-5х+2;

/(х) = — х²4-4х; 5) /(х) = — х²4-х4-6.

28. 1) /(х)=^х³ —2х²4- 3x4-4; 2) /(х)=^х³ —Зх²4-5х4-5;

/(x) = x³—^x²4-6x—2; 4) /(x) = x⁴4-3x² —4.

28. 1 )f(x)=^-; 2) /W=^y.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непре­рывной в некотором промежутке, необходимо:

1. найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2. найти значения функции на концах промежутка;

3. сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

30. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = x² —4х+3 в про­межутке О^х^З.

О Имеем /' (х)=2х—4; 2х—4=0, т. е. х=2—критическая точка. Находим / (2) = — 1; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: / (0) = 3,

/(3) = 0.

Итак, наименьшее значение функции равно —1 и достигается ею во внутрен­ней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка (рис. 31). ф

Найдите наименьшее и наиболь­шее значения функций в заданных промежутках.

31. 1) f(x) = x² — бх+13, 0<д:<6; 2) f (х) = 8—0,5х²,

32. 1) f(x) = ^x²— ^х³, 1<х^3; 2) /(*) = 6х² — х³,

33. l)/(x) = x³ —3*²-9х + 35, -4<х<4; 2) /(*)= -*³ + 9*²- -24х+10, 0<х^3.