§ 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной

Точка х₀ из области определения функции f(x) называется точкой минимума этой функции, если существует такая 8-окрестность (х₀—8, х₀4-5) точки х₀, что для всех хФх₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x)^f(x₀).

Точка х₀ из области определения функции /(х) называется точкой максимума этой функции, если существует такая 8-окрестность (х₀—8, х₀4-8) точки х₀, что для всех х#х₀ из этой окрестности выполняется неравенство /(*)</■(*<>)•

Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками (или точками экстремума) данной функции, а значения функции в этих точках—минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т. е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производ­ная /' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку х₀ производная /' (х) меняет знак, то функция /(х) имеет в точке х₀ экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум—когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку х₀ производная /' (х) не меняет знака, то функция /(х) в точке х₀ не имеет экстремума.

Пр авило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

этом критическая точка х₀ есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором /'(л;)<0, от промежутка, в котором /'(*)> 0, и точка максимума—в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой х₀, знак производной не меняется, то в точке х₀ функция экстремума не имеет.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Исследовать на экстремум следующие функции:

10. \) f (х) = х²—4х; 2) /(*)= — л;² + 5л:+6.

Рис. 26

О 1) Находим /'(*) = 2х—4. Полагая /' (х)=0, получим единственную критическую точку х=2. Дальнейшие рассуждения представлены в таблице:

X	— оо <х<2	2	2<х<со
fix)	-	0	+
fix)	\	Минимум	г
		/mi„=/(2)= —4

График функции f (х)=х²—4х есть парабола, изображенная на рис. 26. Точка минимума (2; —4) является вершиной параболы.

Рис. 27

2) Находим f (х)= — 2х+5; ( — 2л;+5 = 0)о(л:=5/2). Составим таблицу:

X	5 — 00<х<- 2	5/2	5 -сжоо 2
f'(x)	+	0	-
fix)		Максимум /max =/ (5/2) = = 1/4

Графиком функции f (х)= — х² + 5х—6 служит парабола, изображенная на рис. 27. ф

10. 1 )/(х)=^х⁴; 2) f (х)=х³—Зх².

О 1) Находим f (х) = 2х^ъ\ (2л:³ = 0)<?>(л:=0). Составим таблицу:

X	— оо <х<0	0	0<д:< оо
Г (х)	-	0	+
fix)	\	Минимум /ып=/(0)=0	г

X	— oo <x<0	0	0<x<2	2	2<x<co
fix)	+	0	-	0	+
fix)	г	Максимум 0) = = 0		Минимум fmin —f (2) — = -4	г

Г*=0,

^>|_ jc=2.

2) Имеем /'(*) = Зх² —6х; (Зх — 6х=0)<

Составим таблицу:

	1
/	!\jj x
	Рис. 29

График функции f(x)=x³ — 3x² изображен на риЬ. 29. ф

10. f (х) = \/х^т (х-5).

дан-

, г-тг 2(х—5) +3х 5 х—2

о Находим / (х)=—=(х-5) +\fx*= —— В

35Д ъ\£ ³ V*

ном случае критическими являются точки х=0 (в ней производная терпит разрыв) и х—2 (в ней производная обращается в нуль). Составим таблицу:

(2,-ЗЩ

Рис. 30

У\

X	— oo <x<0	0	0<x<2	2	2<x<oo
/'(*)	+	He сущ.	-	0	+
/w	г	Максимум /шах=/(0) = = 0	\	Минимум /пй„=/(2)= = -3V4« «-4,8

График функции f(x) = \fx²(x—5) изображен на рис. 30. ф

Исследуйте на экстремум следующие функции:

10. 1) /(х)=х²—х; 2) f(x)=x² + 3x.

11. 1) f (x)= — х²+2х; 2) f(x)=—x²—x.

12. I) f(x)=x²-8x+\2; 2) f(x)=x²-4x+3; 3)f(x)=x²-\0x+9.

13. l)f(x)=-x² + 2x+3-, 2) f(x)=-x²-x+6. 3) /(*) = = — 2x²+x+l.

14. 1) f(x) = 2x⁴ —x; 2) f (x)= — ^x⁴+8x.

15. \) f(x)=-x³-4x; 2) f{x) = ^X-x³-x².

16. I) f(x) = 2x³-9x² + l2x-8; 2) f(x) = 2x³-3x²-I2x+S;

f (x) = 2x³ + 9x² + \2x — 2.

10. 1) /(x) = 5—2\/x²; 2) f(x) = 3³J^-x.

10. I) f(x)=6³^^T(x+l); 2) f(x)=X/^(10-x).

11. I) f(x)=e^x+e~^x; 2) f(x)=x²e~^x.

12. 1)/(jt)=jt—21nx; 2) /(x)=xlnx.