§ 7. Производные показательных функций

Формулы дифференцирования

При условии И = ф (х)	Номер	При условии и—х	Номер
	формулы		формулы
(аи)' = аи\паи'	(7.15)	((f) = ах\ъа	(7.15а)
(еиУ = еЫ	(7.16)	И'=^	(7.16а)

Найти производные следующих функций:

57. у = 2'5^х + 3е^х.

О По формулам (7.1), (7.15а), (7.16а) и (7.4) получим / = 2 • 5^х In 5 + Зе^х = 2 In 5 • 5^х+3е^х. ф

57. /(x)=^il; вычислить /'(—1).

О I способ. Применив формулы (7.5), (7.1), (7.16а) и (7.9), получим (е^х+\)^,(е^х-\)-(е^х-\)'(е^х+\)_е^х(е^х-\)-е^х(е^х+\) 2е^{х J (Х}’~ (е*— I)² " (е*—I)² “ (е*-1)²'’

/.(_!)— ICl—-*_

' (<Г‘-1)² (1-е)²

2. способ. Прологарифмировав функцию, находим производную логарифма:

In f(x) = In (е* 4-1) — In (е* — 1);

_1 , е* ₌ -2е*

f(x) ^4-1 е*—1 (е^х+1)(е^х— 1)

Следовательно,

57. 1) у = 3²*²; 2) у=<Г²*.

О 1) По формуле (7.15) получим

у = з²*² In 3 • (2х²у = З²*² In 3 * Ах—Ах * 3^2х In 3.

1. По формуле (7.16) находим

у=е-^2х(-2хУ=е-^2х-(-2)=-2е-^2х. •

Найдите производные следующих функций:

57. 1) /(х)=1п;с-е*; 2) f(x)=x²e^x; 3) f(x)=e^x-xe^x; 4) у=3V;

2. у=е^х/2^х', 6) /(х)=51пл:+е^х; вычислите /'(1).

,ч 5-*¹. ЛЧ ¹~«‘

^{6L !) 2)}

62. 1) у=5х³; 2) у=2"1^х\ 3) у=3^,пх.

63. 1) у = е~**; 2) у=е^^х; 3) у=е^1пх.

64. 1) у=3(е^х/3—е~^х/3); 2)

§ 8. Смешанные задачи

Найдите производные следующих функций:

14 *⁺¹ 04 /•/ \ Х³+\ , V Х³ + 1

62. 1) г; 2) /(х)= ; вычислите /(1); 3) j=-_T—

2. J=₍₃^₁₎₃; 4) f(x)=(x²-l)² vV + 1; вычислите /'(>/3).

62. 1) /(м) = >У2 + ^/2м; вычислите /'(2); 2) /(х) = у/5х²+2л: 4-1;

вычислите /'(—1); 3) у= J -^аХ; 4) f(z) = ^ ; вычислите /'(^/5).

\/ 1 — ^

JC³ //х 1

62. 1) /(*)=——=; вычислите/'(1); 2) Дх)= 1^-=—; вычислите

V8+x³ \V*+1

/'(4); 3) /(*)= 7=='> вычислите /'(>/3).

Х-\- yj X

62. 1) >'=^ln^Y^^{; 2}) >'=1п(х-_х/Г+х⁵); 3) j=ln(x-_N/x²-1);

3. in^+V^zl; 5) j; = ln 6) j;=ln_v/x-lnx².

х-ф^-Х yl-ax

62. 1) y=_y/e^3x; 2) j>=;te²*.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

наидите

^{0 /М}=Г^^+Ь+

+ 6х²у/х; найдите /'(1).

2. /(х)=(х²—2) у/х +1; найдите

/Ш

9 z

2. /(2)=—==; найдите

Vz² +1

/'(2^2).

2. /(х)=е²Мпх²; найдите /'(1).

3. Точка движется прямолинейно по закону s=2t³ —2t²—4 (j—в мет­рах, t—в секундах). Найдите уско­рение точки в конце 2-й секунды.

•) /М=-з+777=-^=+Зх-

• 2\[х фс

—2х²*/х; найдите /'(1).

2. /(м)=(м² + 3) у/и²—1; найдите

/Ш

2. /(*)=-

i-V^+т’

/Ш

2. /(лг)=_%/?1пл:²; найдите /'(1).

3. Точка движется прямолинейно по закону s=2t³ — 3t²+4 (s—в мет­рах, t—в секундах). Найдите уско­рение точки в конце 3-й секунды.

Глава 8 приложения производной к исследованию функций

§ 1. Возрастание и убывание функции

Функция у = /(х) называется возрастающей в промежутке а<х<Ь, если для любых x_t и х₂, принадлежащих этому промежутку и таких, что х₁<х₂, имеет место неравенство f(xi)<f(x₂).

Функция у = /(х) называется убывающей в промежутке и<х<Ь, если для любых х_х и х₂, принадлежащих этому промежутку и таких, что х₁ <х₂, имеет место неравенство f(x_l)>f(x₂).

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотон­ными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,—про­межутками монотонности.

Возрастание и убывание функции у = /(х) характеризуется знаком ее про­изводной: если в некотором промежутке /' (х)> 0, то функция возрастает в этом промежутке; если же/' (х) <0, то функция убывает в этом промежутке.

Найти промежутки монотонности следующих функций: 1. 1) f{x)=x² — 8д:+12; 2) f{x) = х³ — 6л:² + 4.

О 1) Находим производную: /'(х)=2х—8; имеем (2х—8 = 0)о(х=4). Последующие рассуждения представим в таблице:

Таким образом, данная функция в промежут­ке — oo<jc<4 убывает, а в промежутке 4<х<оо возрастает (рис. 23).

2. 

   Рис. 23

   Имеем /'(х)=3х² —12х,(3;с² —12х=0)<^* Составим таблицу:

0<х<4

4<х< оо

-оо <лг<0

+

/'(*)

/(*)

Итак, в промежутках — оосхсО и 4<х<оо функция возрастает, а в промежутке 0 с* <4— убывает (рис. 24). ф

1

2. 1) j=—; 2) у=1пх; 3) y=Jx~x².

О 1) Область определения данной функции—вся числовая прямая, кроме точки х=0. Находим у'= — \/(2х²). Очевидно, что у’<0 при всех х из области определения функции, т. е. функция у=\/(2х) убывает в про­межутках — оосхсО и 0<х<оо (рис. 25).

2. Область определения функции—промежуток Осхсоо. Очевидно, что производная у'= 1/х в этом промежутке положительна. Следовательно, функция у = \пх в промежутке 0 < jc < оо возрастает.

3. Для нахождения области определения функции решим неравенство х—х²^0, откуда получаем O^x^l. Таким образом, данная функция определена в промежутке 0<х<1.

1. — 2х

Найдем производную у'=— . Так как знаменатель дроби

2. yj х х

положителен, то знак этой дроби совпадает со знаком ее числителя. Учитывая, что функция определена при O^x^l, получаем: у'>0, при 1—2х>0, т. е. при 0<jc< 1 /2; у'<0 при 1— 2х<0, т. е при l/2<x<L

У" 0	тч
0	! * 1 1
-	1 1
	В(Ы-28)

Следовательно, в промежутке 0<х<1/2 функция возрастает, а в промежутке \/2<х<\—убывает. #

Найдите промежутки монотонности следующих функций:

2. 1) /(х)=х¹ — 6x4-5; 2) /(х) = 2х² —4x4-5; 3) Дх) = —х²4-4x4-1.

3. 1) /(х) = х² — Зх²4- 1; 2) /(*)= — ^х³4-^х²4-2.

4. I) f(x)=x*-4x+3; 2) f(x)=x*-32x+40; 3) Дх)= —ijc³—jc+1.

5. 1) /(х) = 2х³—9х4-12х—15; 2) /(х) = —2х³4-15х² — 36x4-20.

6. 1) /М—1; 2)

7. 1) у=1пх²; 2) =In

9* 1) У⁼^^х2 — 1^пх1 2) _у=1пл:—^л:³.

10. 1) у=е~^х; 2) у=е*²; 3) j>=e^1/x.

11. 1) y=\Jx—2л:²; 2) у = ^/х? — Зх.