Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать
  1. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону

= 3t2 + Г-1-4. Найти кинетическую энергию тела (mv2/2) через 4 с после начала движения.

О Найдем скорость движения тела в момент времени t:

ds

v=—=6t+\. Вычислим скорость тела в момент /=4; v(4)=6 *4+1 = 25(м/с). dt

Определим кинетическую энергию тела в момент / = 4: mv2/2= 10 * 252/2 = = 3125 (Дж).#

  1. Сила тока / изменяется в зависимости от времени t по закону 7=0,4/2 (7—в амперах, t—в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.

О Скорость изменения силы тока есть производная силы тока по времени:

  1. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением: 1) s = t3 + 5t2 + 4, /=2; 2) s = y/t, t= 1; 3) s = t2 + Ш + 30, t = 3.

  2. Найдите ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением:

v = t2 + t— 1, /=3; 2) i; = /2 + 5/+l, t=3.

  1. Точка движется прямолинейно по закону s=t2 8/+4. В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

  2. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени t по закону Г=0,5/2 —2/. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени / = 5?

  3. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону s = 5t2 2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

  4. Изменение силы тока 7 в зависимости от времени t дано уравнением I=2t2 5t (7—в амперах, t—в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.

  1. 1) /(*) = In ; вычислите f(2a); 2) у=Xn^flx.

' а+х v

О 1) Для упрощения нахождения производной предварительно проло­гарифмируем дробь: f(x)=\n(a—x)—\n(a+x). Далее, по формулам (7.1), (7.13), (7.8) и (7.9) получим

/'(*)=—— (а-х')(а+х) = ! —= - 2, f(2a)=^-.

а—х а+х а—х а+х х2—а2 За

2) Прологарифмируем корень квадратный: У~^п (2х)=^ In 2+^ In jc. По

формулам (7.1), (7.8) и (7.13а) получим /=^ ф

Найдите производные следующих функций:

  1. 1)/(jc) = 31nx—х2; вычислите/'(1); 2) f(x)=lgx+x3; вычисли­те /'(—1); 3) у=х21пх; 4) >>=(1—In*)*; 5) f(z)=z3 31nz; вычислите

/’(3).

я. 1, ,„!!£=?; 2) у.'^±1.

In X ]пх

52. 1) j>=ln3x; 2) j=ln(2*2-3).

§ 6. Производные логарифмических функций

Формулы дифференцирования

При условии И=ф(х)

Номер

формулы

При условии и=х

Номер

формулы

(1п)'=-м'

и

(7.13)

— 1 X II

(7.13а)

п 1' °>4343 - (lg и) = и

(7.14)

V 0,4343 (lg*)' =

(7.14а)

и

X

Найти производные следующих функций:

48. 1) у-х+1пх; 2) у= 51gx; 3) y=ln(ax2 + b). О 1) По формулам (7.1), (7.9) и (7.13а) получим

/=1|\х+\

У X X

2) Дифференцируем по формулам (7.4) и (7.14а):

0,4343 2,1715

/ = 5- = .

2 ах ах2 + Ь'

3) По формуле (7.13) получим

/=^-М2+ь)'= 1

2ах=

ах2 + Ь

ах2 + Ь а—х

х_1-• ' 2+х

  1. 1) у=\% 10.x;2) j=lg(2x+l).

  2. 1) у=1п^/2х-1; 2) >»=1п у/х22; 3) j=lg4/x2+4; 4) ,-In /В. \ 1 +х 56. 1) jk = 1п3Злг; 2) }> = ln2(2x+1); 3) у = ln2(x2—1).