§4. Производная сложной функции

Найти производные следующих функций: 23. >>=(л:² —5х+8)⁶.

О Полагая и=х² — 5x4-8, получим у—и⁶. По формуле (7.10) находим

у' = 6и V = 6 (х² — 5x4- 8)⁵ (х² — 5x4- 8)' = 6 (х² — 5x4- 8)⁵ (2х—5).

Такая подробная запись производится только в процессе освоения техники дифференцирования. При навыке промежуточные вычисления производятся в уме. ф

24. у= ¹

(х²-1Г

О I способ. Применим последовательно формулы (7.11) и (7.10):

^{У =} ~[(*²-1)⁴]² ^~ ^ ⁼ ~(x²-\f^A<yXl“ ^ ^ ~ ^ ^{= _}(х²-1)⁸ *

х 4(х² — I)³ *2х= —

8х(х²-1)³_ 8х

(х²-1)⁸ (х²-\)⁵’

2. способ. Введем отрицательный показатель и применим формулу

(7.10):

у=(х² — \)~*; y=-4(x²-l)"⁴"¹(x²-l)'=-4(x²-l)"⁵-2x=-^—•

24. f(x) = J4-х².

О Полагая и=4—х², получим /(х)=_ч/й. По формуле (7.12) находим

/ ч 1 _/л — 2х х

/ (*)= Г. Л⁴~х ) =-

2у/4—х ly/4—х² J4-х²'

24. у=(х²+6) х² — 3.

О По формуле производной произведения получим

у'=(х² 4- 6)' у/х² - 3 4- (у/х² — 3)' (х² 4- 6).

Найдем производные в каждом из слагаемых и выполним преобразо­вания:

,з

У = 2х у/х² — 3 Н . _(х² 4- 6)=2х у/х² — 3 4-

2у/х² — 3 у/х² — 3

2х . _ r-z х 4-6х

2х (у/х² — З)² 4- х³ 4- 6х 2х(х² —3) 4-х³4-6х 2х³ —6х4-*³4-6х Зх³

у/х² — 3 у/х² — 3 у/х² — 3 у/х² — Ъ

24. у=з/(х³ + 1)².

О Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле

10. найдем производную степени:

>>=\/(х³ +1 )² = (х³ +1)^2/3; 2 2 2х² /=^(х³ + 1)~^1/3(х³+ 1)'=^(х³ + 1)^_1/3Зх²=—!==■ •

3. ³ v*³⁺¹

Найдите производные следующих функций:

24. 1) j=(x³—2х² + 5)³; 2) /(х)=(х³-1)⁶.

29. 1) /(jc)=(ax²+bx+cf\ 2) y=(r²- jc²)⁴.

^ж « у-ТгЬ?> ²> У-&ЛГ

31- 1) J.

32. 1) /(х)=Ух²-4х+6; 2) /(/) = ^/г²-/+1; вычислите /' (2);

y=yjr²-x²; 4) y=-y/a²-x²; 5) y=-y/x²-a²; 6) у=^/2рх. а а

32. 1) v=jc₄/jc² —1; 2) s=t²/2t-1; 3) ₅=(;² + l)Vt²-l; 4) j> = =(2x—1)\/1 —2x.

33. l) 2) 3) >>=- ¹

yjax+b у/х* + \ л/l-x²

2. v= , ¹ .

« 1\ ^{{+2x 3}* 44 *

32. 1) y= -2) y=~_; 3) ^=-

/ * **) У i—= J “V ✓ /— ?

y/l—2x Jx²-\ y/x²+4

4. _y=^±Z. x

32. 1) ,= ^/?ГТ; ₂) ^=V(«f+*)³; 3) y=_y/(2x-lf;

/(r)=0² + <-l ; вычислите /'(1).

§ 5. Физические приложения производной

При прямолинейном движении точки скорость v в данный момент t = t₀ ds

есть производная — от пути s по времени t, вычисленная при t=t_Q. dt

.. „ do

Ускорение а в данный момент t=t₀ есть производная — от скорости v

dt

по времени t, вычисленная при t=t₀.

В задачах этого параграфа путь s выражен в метрах (м), время t—в секундах (с), скорость v—в метрах в секунду (м/с) и ускорение а—в метрах на секунду в квадрате (м/с²).

32. Точка движется прямолинейно по закону s = 2t³ + t²—4. Найти значения скорости и ускорения в момент времени t=4.

О Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:

ds

v=—=6t²-\-2t. Вычислим скорость движения точки в момент t=4: dt

u(4)=6-4² + 2-4=104(m/c ).

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t: dv

а=-=12/4-2. Вычислим ускорение движения точки в момент времени t=4: я (4) = 12 • 4+2 = 50 (м/с²). •

32. Точка движется прямолинейно по закону s=6t—t². В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

О Определим скорость движения точки в любой момент времени t: ds

и=—=6 — 21. Полагая t? = 0, получим 6—2t=0, откуда t=3. Таким образом, at

скорость точки равна нулю в конце 3-й секунды. #

. 39. Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t задан уравнением T=0,2t². С какой скоростью нагре­вается это тело в момент времени t =10?

О При нагревании тела его температура Т изменяется в зависимости от времени /, т. е. Т есть функция времени: T=f(t). Скорость нагревания тела

dT (dT\

есть производная температуры по времени: —=0,4/; —1 =0,4 * 10=4.

dt \dtj_t=₁₀

Итак, в момент времени /=10 тело нагревается со скоростью 4 град/с. #