§2. Производная

Производной функции /(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения А/ функции в этой точке к приращению Ах аргумента, когда последнее стремится к нулю:

lj_m ^A/(*o)_. _lim Л*о + А*)-/(*о)

Ах—О Ах Ах—О Ах

Функция /(х), имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Для производной функции у= /(х) употребляются следующие обозначе­ния: у\уху-т~ или />/'(*)> • Нахождение производной называется ах ах

дифференцированием.

Вычисление производной функции y=f(x) производится по общему правилу дифференцирования:

1. Придавая аргументу х приращение Ах и подставляя в выражение функции вместо аргумента х наращенное значение х+Ах, находим наращенное значение функции: y+Ay=f(x+Ax).

2. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции: Ay=f(x+Ax)—f(x).

3. Делим приращение функции А у на приращение аргумента Ах, т. е.

by f(x+&x)-f(x)

5. Найти: 1) у' (3), если у=2х² — 3х; 2) у* (4), если у= у/х.

О 1) Находим производную по общему правилу:

j+Aj=:2(x+Ax)² —3 (х+Ах)=

“ =2х²+4хАх+2(Ах)² —Зх—ЗАх >>=2х² — Зх

Ад>=4хАх+2(Ах)² — ЗАх;

^=4х+2Ах—3; lim lim (4х+2хАх—3)=4х—3; ^'=4х—3.

АХ Ах—О АХ Ах-о

Найдем значение производной при х=3: у' (3)=4 • 3 — 3 = 9.

2) Находим производную по общему правилу:

_у+Ау=уу/х+Ах У= у/х

А у= у/х+Ах— у/х\

А у Jx+Ax— J~x , Ay Jx+Ax— J~x

T-=- 7 —; /= lim — = lim X —=

Ax Ax Ax—0 Ax Ax—0 Ax

(yJx+Ax— <yJx)(_x/x+Ax+ y/x) _e. x+Ax—x = lim — ^v — — —-= lim

Ax (yfx+Ax+Ji) ^Ax~*° Ax (y/x+Ax+ y/x)

^{1 1} 1 ,_/ч 1 1

= lim -—z_ -=—/(4)=—-=-. •

Ax^-*⁰ yj x -\- Ax H~ yj x y/x+0+ y/x 2yjx 2y/4 ⁴

6. Найдите: 1) если y = x² — x; 2) у' (1), если y=x² — 5jc+4; 3) s' (2), если s=t³.

7. Найдите: 1) y'(3), если y=— 3/x; 2) /(—1), если y—i/x².

8. Найдите: 1) /(5), если y=. /х— 1; 2) y' (4), если y= I/ y/x; 3) /(2y/l\ если y=j/x.

§3. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня

Обозначения: С—постоянная; х—аргумент; и, v, w—функции от х, имеющие производные.

Основные правила дифференцирования

Производная алгебраической суммы функций

Производная частного (дроби)

(7.5)

(и

Частные случаи формулы (7.5):

д) -д* ⁽⁷⁶⁾

7 Г-7*”' ^(7Л)

Если у есть функция от и: у=/(м), где и, в свою очередь, есть функция от аргумента х: м=ср (х), т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): У=/[ф(х)].

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независи­мой переменной:

dy dy du

—= , или у (х]=у (и) и (х).

dx du dx ^{у V ; y V ; У f}

Исходя из этого соотношения, можно получить формулы дифференци­рования сложных функций.

При вычислении производных необходимо помнить, что (по опре­делению)

1/и

в°=1 (аф0); я“"= 1/я" (в#0); </а”=а^т/" (а>0), и знать следующие правила действий со степенями и корнями: а^па^т = а^п+т; а^п/а^т = а^а~^т; [а^п)^т — а^пт\ ^/ab=^/a^/b=a^llnb^1,n (я>0, 6>0);

a "J а а

^Гф-W- <“^>0' ^s>0>

Здесь т и п—любые рациональные числа.

Формулы дифференцирования

При условии М=ф(х)	Номер формулы	При условии и=х	Номер формулы
		С' = 0	(7.8)
		х'=1	(7.9)
(ип)' = пип~1и', где п—любое действитель­ное число	(7.10)	(х^^лх”-1, где п—любое действитель­ное число	(7.10а)
	(7.11)	©-j	(7.11а)
(%/“)=, г«' 2 Vм	(7.12)		(7.12а)

Найти производные следующих функций: 9. 1) у=Зле⁴; 2) у=2х~⁵; 3) у = 4х^ш; 4) у = 5х~²¹⁵; 5) у=5j/x*.

О 1) Используя формулу (7.4), вынесем постоянный множитель за знак производной, а затем применим формулу (7.10а);

/ = 3(х⁴)^, = 3-4х⁴’¹ = 12х³.

Аналогично, используя формулы (7.4) и (7.10а), получим:

О Сначала каждую из функций преобразуем к виду у=х^п, а затем воспользуемся соотношениями (7.4) и (7.10а):

1) V — = — X

’ ^У 2х²'³ 2 ’

v'=i(jC-2/3y -2/3-1₌ _1_А.-3/3₌ ! .

^{у }} Л V * 3**'* 3*^’

2) у = Зх²^/х=Зх²х^1/3 = Зх^7/3; у' = з (х^7/3)' = 3 •⁷-X¹'³ -¹ = 7х^4/3 =

2х² 2х² ..

^{J| у}'т~^ ^;

/=2(х⁵'³)'=2 Ix^-'^jx^^jt/x¹. •

11. f(x)=\/x⁴; вычислить /'(—1) и /'(2).

О Имеем /(*)= 1/х⁴ = х^-4. Следовательно,

/^,(х)=-4х’⁴“¹ = -4х-⁵=-4/х⁵.

Для вычисления /'(—1) и/'(2) нужно в выражение производной вместо х подставить значения —1 и 2:

/'(-1)=-4/(-1)⁵=-4/(-1)=4; /'(2)= —4/2⁵ = —4/32= —1/8. •

11. у = 4х³ + 2х²+х—5.

О Применив последовательно формулы (7.1), 7.4), (7.10а), (7.9) и (7.8), имеем

/=(4х³)'-(2х²)Чх^,-5^, = 4(х³)^,-2(х²)Чх^,-5^,=

=4 • Зх²—2 • 2x4-1 = 12х²—4x4-1.

При навыке дифференцирования промежуточные действия обычно выполняются в уме и поэтому в подобных примерах сразу же записывается окончательный результат дифференцирования, ф

11. /(*) = (X³-1)(X² + X;+1).

О Используя формулы (7.2), (7.1), (7.10а), (7.8) и (7.9), находим /'(х) = (х³ — 1)'(*² + л:4-1)4-(х²4-*4-1)'(л:³- 1) =

= Зх²(л:² + л:+ l)+(2x+1) (лг³ — 1) = 3х²(;с² + л:+ l)+(2x+1)(*— l)(x²4-*4-1)= =(х²-\-х+1) [Зл:² -h(2jc-h 1)(*— l)] = (x² + x+ l)(3x² + 2x² — 2х+х— 1)=

=(х² + х+ l)(5x²—х— 1). ф

1А ^Х2+¹

¹⁴■ •’■'FTT'

О Используя формулы (7.5), (7.1), (7.10а) и (7.8), получим , _(х² 4-1)' (х² — 1) — (х² — 1)' (х²+\) _2х(х²—\)—2х (х² 4-1)

^у (*²-i)^{2 =} prjp =

2л: (jc² — 1 — л:² — 1) 2х (—2) Ах

■JC

²

⁼ (х²-1)^{2 =}(х² —1)²⁼ ~(х² — I)² • Найдите производные следующих функций: 15. 1) j=x⁴; 2) у=2х³; 3) у=3х~⁵; 4) у=-3х~²; 5) у=х^7/5; 6) j=4x^3/2; 7) у=5x~^3/s; 8) у=2у/Р; 9) у=^Г³; 10) у=*

16. 1) у=—2) у=-^; 3) У=-т=; 4) у=2х³$/х; 5) У=^;

^{х х} V* V^х

2х³ _ 2 у/х 6?/х ГГ . I 1

^{} у}~т?^; ’ ^у~^~^; * ^y~j%' * ^s~w- *^у

Ч) /(*Н*”^г Jxifx-, 12) s = .

tyjt

16. 1) /(*) = l/x³; вычислите /'(1/2); 2) f(x)=%/x*; вычислите /'(—8); 3) y = xy/x$/x; вычислите /(1).

17. 1) f(x)= — х³ + 9х²+х— 1; вычислите /'(—1); 2) /(*) =

=^х⁴—^x³+^jt² —I; вычислите /'(3); 3) /(f)=0,5f³4-0,6f²+0,8Г+8; вычислите /'(1).

16. 1) >>=—3x~⁵4-15x~⁴ —2x“³4-x^-14-2; 2) >;=4x^3/4 + 3jc^2/3 + + 4jc^1/2 + 3jc.

17. 1) y=i/?-±+2-+l+b 2) ,=2^+-i=--?=-i+l.

18. 1) /(x)=(2x+l)(x² + 3x— 1); 2) /(x)=(3x²+ l)(2x² + 3); 3) У(лг) = (лг³ + л:² + лг+ 1)(л:— 1).

19. 1) ,=—; 2) 3) 4) y=-'²

x+a’ 2—x²’ x²+x+l’ x²+l