52. Найти асимптоты кривых:

^у=7=г' ²> ^у=1Г-{’ ³> ⁴> ^у=~Фг\'

О 1) Так как lim —=0, то кривая у=—имеет горизонтальную

х—оо Х — 3 х — 3

асимптоту у=0. Далее, находим lim —— = — оо, lim —!—= 4- оо; следо-

X—3 ~ О JC — 3 х—з + о X — 3

вательно, кривая имеет вертикальную асимптоту х=3 (рис. 14).

Имеем lim = —оо, lim =+оо. Значит, х—\—точка

х—1-0 X— 1 х—1+0 х — 1

разрыва II рода и, следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту х=\.

Найдем горизонтальную асимптоту:

вательно, х=0—вертикальная асимптота (рис. 16).

2. Найдем горизонтальную асимптоту:

= 1, lim

lim

X—+ 00

у/х²+\

* г ¹

■ =

lim

у/х²+\ ^Х-^+а3у/\ + \1х УГ+О

При х—+ Н^- оо асимптотой служит прямая

1. априх-> —оо—прямая ^ = — 1 (рис. 17). ф

52. Найти асимптоты кривой у =

О Находим наклонную асимптоту: *- lim lim lim -i-,

X— ±00 X X—±00 (х— 1) X х-~±соХ— 1

X— 1

x—► ± OO X—± 00 1 J X—±00 X—1

Итак, k= 1 и b= 1; следовательно, при x-> + oo и при x-> — co график функции имеет наклонную асимптоту у=х+1.

Если jc—>1, то >^->±оо, значит прямая х=1 является вертикальной асимптотой (рис. 18). ф

Найдите асимптоты кривых: V³ Г\

х²-1

>> ^{2) 3) 4) У=}Т^Р

52. Найдите наклонные асимптоты кривых:

1. у=х+е~^х; 2) у=^/х²-1; 3) у=-^.

52. Найдите асимптоты кривых:

х² + 6х—5

;3 )у=

х

х² — 5х+4

х —25

Зх² х² -I- 1

* '-РТ? ^п ”—Г^: *> '- ,-4

§8. Решение дробно-рациональных неравенств методом промежутков

Решение неравенств методом промежутков основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х₁ и х₂ (*i <х₂) и между этими точками других корней не имеет, то в промежутке х_х <х<х₂ функция сохраняет знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y~f{x) поступают так. На числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или претерпевает разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т. е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой-либо точке рассматриваемого промежутка оси Ох.

52. Решить неравенства:

1. (л;+3)(л:—2){х—5)<0; 2) (х—3)(л;—5)(x² + 2x+5)<0.

s.

Рис. 19 Рис. 20

О 1) Многочлен Р(х)=(х+3)(х—2)(х—5) обращается в нуль в точках *! = — 3, х₂ = 2 и х₃ = 5. Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки — оо<х< — 3, — 3<х<2, 2<х<5, 5<х< + оо (рис. 19), внутри каждого из которых функция Р(х) сохраняет знак. Рассматривая эти промежутки справа налево, находим знак функции Р(х) для каждого из промежутков: при 5<х<оо (например, х=10) Р(х)>0; при 2<х<5 (например, jc = 3) Р(х)<0; при — 3<х<2 (например, х=0) Р(х)>0; при

• оо < х < — 3 (например, х = — 10) Р (х) < 0, т. е. знаки функции Р (х) чередуются, причем для значений х из крайнего правого промежутка Р(х)>0. Так как по условию Р(х)<0, то решением неравенства является

[— со<х< —3,

2<х<5

2) Трехчлен х¹ + 2х+5 для всех xeR принимает положительные значения (так как D — 2²—4-5<0). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству (х—3)(х— 5)^0. На рис. 20 показаны промежутки знако- постоянства левой части данного неравенства. Решением неравенства служат все точки промежутка 3<х<5. #

52. Решить неравенства:

(х-5)(х-3)(х+2) З)² (л: 2) (лг-f-1)

(_х-4)(х+4) ^ ¹⁾ (*-4)(х+3) "

О 1) Умножив обе части данного неравенства на квадрат знаменателя (х—4)²(х+4)², получим неравенство

(х—5)(х—4)(х—3)(х + 2) (х+4)<0,

имеющее два посторонних решения —4 и 4, которые надо исключить из мно­жества его решений. Левая часть последнего неравенства обращается в нуль в точках —4, —2, 3, 4, 5. Таким образом, получаем промежутки знакопостоянства — оо<х<—4, —4<х<—2, —2<х<3, 3<х<4, 4<х<5, 5<х< + оо (рис. 21). Решением неравенства служит совокупность про­межутков

• оо <х< —4,

• 2^х^3,

4<х< —5.

Рис. 21 Рис. 22

Г—з<х^ 1,

Решением неравенства служит совокупность промежутков 2<х<4

(так как значение х=3 является решением неравенства и принадле­жит промежутку 2<х<4, то его специально выделять в ответе не нуж­но). •

~ х² — 2x4-3 _

52. Решить неравенство —-—-> —3.

х—4x4-3

О Имеем

/х²—2x4-3 \ (х² — 2x4-3 \ /4х² — 14x4-12 \

Умножив левую и правую части последнего неравенства на (х— 1)² (х—З)², получим

(х-1) (jc - 3/2) (х- 2) (х- 3) > 0.

г

Используя метод промежутков, находим решение данного неравен­ства:

• 00 <х< 1,

3/2<х<2,

3<х<оо. #

Решите неравенства:

52. 1) fa+2Wx—4Нх—5}<0;

2. Гл: 4-1) (л:—2Нлг—3) > О

3. (л:4-4Дх—ljjta—5)<0;

4. (х4-4)(л:+2г(л:— 1)<0;

5. ис-ьЗНх—2^³(л:—3)(jc—4)^0.

52. 1) (jc—2)(х—ЗНл:²4-х+3)<0;

2. (л: Ч- 3) (л:+4) (л:²+2jc+5) > 0.

52. 1) ⁽*:¹⁾⁽*~²⁾⁽7³⁾<0; 2)

(лг+2)(лг+1) (х+3)(л:+2)

(х+1)³(.х+2)

3. (л:—1)(лг—3)

52. 1) ^Ц>0; 2)

х²—2x4-8 х—2 х— 1

х²-Зх+2 х² —2х—3

³⁾ -^^{>0; 4)} хЧЪ+Х

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

Решите неравенства методом Решите неравенства методом

промежутков: промежутков:

(х+2)(х-3)(х-5)>0; 1) (х+5)(х-4)(х-6)<0;

7\ V^х+ 3) (х—2)(х—Щ*~3)(*+2)

(х-1)(х+5) ^ ’ (х-4)(х+5) ^

Зх²- 17х+18 Зх²-14х+14

’> х² — 5х+4 ^<2' ³> х*—4х+3 ^>2-

Дана функция у= 1/х². Вычис- 4) д_ана функция y=Jх. Вычис- лите приращение Ау при х=1 и лите приращение Ау при х=1 и Ах = 0,1. Ах=0,02.

4. Найдите асимптоты кривой 5) Найдите асимптоты кривой х 1

^У~х^2' ^У=х+2’