§6. Точки разрыва функции

Если функция y=f(x) при х—а имеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции /(х) при х-»я слева и справа.

В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных вида разрывов: 1) разрыв I рода—в этом

случае существуют конечные пределы lim f(x) и lim /(х); 2) разрыв

х—*а -О х—*а + 0

1. рода—в этом случае хотя бы один из пределов lim fix) и lim f{x) не

х—41 —О ^{Х 7} х-41 + 0 ^V '

существует или бесконечен.

53. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

^ ^{2) 3)} '=^з1/*^{; 4)}

О 1) Данная функция определена при всех значениях х, кроме х—3. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка х=3. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при х-»3:

X X

lim = — оо, lim = + оо.

Ж—3-0х-3 *—3 + 0 Х — 3

Следовательно, функция ^в точке х=3 имеет бесконечный разрыв,

т. е. х=3—точка разрыва II рода.

2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что точками разрыва данной функции служат точки х=2 и х=4, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Очевидно, что в этих точках функция имеет бесконечный разрыв, т. е. х=2 и х=4—точки разрыва II рода.

3. Здесь функция определена при всех значениях х, кроме х=0. Найдем левый и правый пределы функции при х->0:

lim 3^1/х=0, lim 3^1/х= + оо.

х—- 0 х—> + 0

Так как при х, стремящемся к нулю справа, функция имеет бесконечный предел, то х=0—точка разрыва II рода.

2. В этом случае единственной точкой разрыва также является точка х=0. Вычислим односторонние пределы функции при х->0:

lim -—¹—гт-=1, Ит -—^т-=0.

*— о1-|-5 ¹ [х—+о1 + 5 /

Поскольку левый и правый пределы функции при х=0 являются конечными, х=0—точка разрыва I рода. #

56. Найдите точки разрыва и исследуйте их характер для следующих функций:

§7. Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно при­ближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала коор­динат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Вертикальные асимптоты. График функции y=f(x) при х^а

имеет вертикальную асимптоту, если lim f(x)= + оо или lim/(х)= — оо; при

х—hi х-*а

этом х=а есть точка разрыва II рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х=а (рис. И, я и б).

Рис. 11

Рис. 12

Горизонтальные асимптоты. График функции y=f(x) при + оо или при — оо имеет горизонтальную асимптоту, если

lim f(x)=b или lim f(x)=b₁. Может оказаться, что либо только один из

X—► +00 х—► — 00

этих пределов конечный, либо ни одного, тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = Ь (рис. 12, я и б).

Рис. 14

Рис. 13

Наклонные асимптоты. Пусть график функции y=f(x) имеет наклонную асимптоту у=кх+Ь (рис. 13, я и б). В этом случае справедливо равенство

Вынося х за скобки, получим

ш» 1-0.

*-±® l х

Так как lim -=0, то отсюда получаем формулы для вычисления

X— ±00 X

параметров к и Ь:

f(x\

lim -^-i=k, lim [fix)—kx] = b.

x—±00 X x—±oo ^v '

Следует отдельно рассматривать случаи ;с-> + оо и х-> —оо.