§3. Относительная погрешность приближенного значения числа

Относительной погрешностью 6 приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности а этого приближения к числу а, т. е. 5 = а/а.

Так как абсолютная погрешность а обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом 8, которое заведомо не меньше этого модуля: |5|<e. Число 8 называется границей относительной погрешности.

Границей относительной погрешности г_а приближенного значения а назы­вается отношение границы абсолютной погрешности Аа к модулю числа а:

Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений или вычислений. Относительная погрешность—величина безразмерная, что позволяет сравнивать качество измерений величин разной размерности.

Зависимость относительной погрешности от числа значащих цифр иллюстрируется табл. I.

Из таблицы видно, что три верные значащие цифры обеспечивают точность результата (относительную погрешность) от 0,05 до 0,5%, В технических и других расчетах, не требующих особо высокой точности, достаточно бывает обеспечить точность результата порядка десятых долей процента. Поэтому в технических расчетах принято выполнять вычисления с тремя значащими цифрами. Этим, в частности, объясняется широкое применение в таких расчетах логарифмической линейки, обеспечивающей при вычислениях три верные значащие цифры.

В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:

Аа=\а\г_а. (1.2)

Таблица I

Число	Наи­ мень­ шее число	Наи­ боль­ шее число	Грани­ца аб­солют­ной по­греш­ности	Относительная погрешность наибольшего числа	Относительная погрешность наименьшего числа
Одно­ значное	1	9	0,5	0,056 = 5,6%	0,5 = 50%
Двузначное	10	99	0,5	0,005 = 0,5%	0,05 = 5%
Трех­ значное	100	999	0,5	0,0005 = 0,05%	0,005 = 0,5%
Четырех­ значное	1000	9999	0,5	0,00005 = 0,005%	0,0005 = 0,05%

12. В результате измерений получили, что длина карандаша равна 16 см, а длина комнаты равна 730 см. Что можно сказать о качестве этих двух измерений?

О Будем считать границу абсолютной погрешности измерений равной ±0,5 см. Найдем относительные погрешности этих измерений:

8 = 0,5/16=0,0312 «3,1% (при измерении длины карандаша); е = 0,5/730 = 0,000685 «0,07% (при измерении длины комнаты).

Следовательно, качество измерения длины комнаты значительно выше, чем качество измерения длины карандаша. О

12. Найти относительную погрешность числа 6,8, если обе цифры его верны в строгом смысле.

О По условию, Аа = 0,05; поэтому е_а = 0,05/6,8 = 0,00735 = 0,7%. •

12. Какие цифры числа 4,86 (0,3%) являются верными?

О По формуле (1.2) находим

Аа=4,86 • 0,003 = 0,0146 < 0,02; а = 4,86 ± 0,02.

Верными являются первые две цифры: 4 и 8. #

12. При вычислении некоторой величины X стало известно, что 6<Х<1. Сколько верных цифр нужно взять, чтобы приближенное значение а имело относительную погрешность не больше 0,3%?

О Чтобы значение а было наибольшим, примем а=6,99. По формуле (1.2) получим Да=6,99 • 0,003 = 0,021. Следовательно, нужно взять две верные цифры. •

12. Вычислите относительную погрешность числа к& 3,14, считая я« 3,1416.

13. Округлите точные числа: 1) 286; 2) 45,8; 3) 7,19—до двух значащих цифр с недостатком и с избытком. Найдите относитель­ную погрешность каждого округления.

14. При решении задачи сумма углов треугольника оказалась равной 179°30'. Найдите относительную погрешность полученного приближенного значения.

15. Найдите относительную погрешность числа 2,6, если обе его цифры верные.

16. Какие цифры числа 1,28 (0,4%) являются верными?