§4. Приращение аргумента и приращение функции

Для функции у—f(x) разность двух значений аргумента х₁ и х₂ из D (/) называется приращением аргумента и обозначается символом Ах, т. е. х₂—х₁ = Ах.

Разность двух значений функции yi=f(xi) И у2 =f(x₂) ИЗ £(/), соответствующих значениям аргумента х_х и х₂, называется приращением функции и обозначается символом А у, т. е. Ay=f(x₂)—f(x_l)=y₂—y_l.

Если х₂>х₁₉ то А;с>0; если же х₂<х_и то Ax<0. Соответственно и приращение функции Ад>>0, если у₂>у_и ^и Ау<0* если у₂<У\-

Приращение функции y=f(x) находится по следующей схеме. Пусть аргумент х получил приращение Ах, тогда наращенное значение аргумента есть *4-Ах, а соответствующее ему значение функции есть ^+A^=/(x4-Ax). Чтобы найти приращение функции, нужно из наращенного значения функции вычесть первоначальное:

_y+Ay=f(x+Ax)

y=f(x)

Ay=f(x+Ax)-f(x).

36. Дана функция y = x² + x+\. Найти приращение аргумента и приращение функции, если аргумент ь изменил свое значение от ъ₁=2 до *2 = 2,5.

О Найдем приращение аргумента: Ах=х₂—х₁ =2,5—2 = 0,5.

Вычислим значения функции, соответствующие значениям аргумента х₁ = 2 и *2 = 2,5:

У\ ⁼/(*i)=/(2) = 2² + 2+ 1=7; ^=/Ы=/(2,5) = (2,5)² + 2,5+1 =9,75.

Находим приращение функции: Ay=y₂—y₁=f(x₂)—f(x_])=9,15 — l = = 2,75. ф

36. Дана функция у = х²-{-2х — 4. Найти приращение А у при х = 2 и Ajc = 0,5.

О Найдем наращенное значение функции, соответствующее прираще­нию Ах:

у+Ау=(х+А х)²+2 (х+А х)—4 = х² + 2х А х + (Алг)² + 2х + 2 Ах—4. Находим приращение функции:

j + Aj = х² 4- 2х Ах+(Ах)² + 2х+2 А х—4

• _у = х² + 2х—4

А>>=2хДх+2Ах+(Ах)² = 2 • 2 -0,5 + 2 • 0,5+ (0,5)² = 3,25.

36. Дана функция у = х² — 2х+4. Найдите приращение функции, если аргумент х изменил свое значение от х_: = 3 до jc₂ = 3,5.

37. Даны функции: 1) у = х² + 2х; 2) у = х³ — 1. Найдите прираще­ние Ау при х = 3 и Ад:=0,1.

38. Дана функция j=l/x. Найдите приращение А у при х=\ и Ах = 0,2.

39. Дана функция у= у/х. Найдите приращение А у при х= 1 и Ах = 0,1.

40. Даны функции: 1) у= у/2х; 2) у=^/х. Найдите приращение А у при л:=1 и Дх = 0,2.

§5. Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х=а, если предел функции при х->а равен значению функции при х = я, т. е.

lim Дх) =/(</).

х—*а

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

lim A v=0.

Дх—*0

Если условие непрерывности функции в точке х = а нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1. область непрерывности элементарной функции совпадает с ее областью определения, т. е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

2. элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;

3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

36. Исследовать на непрерывность функции: 1) у=Зх; 2) у= = 3х² — 2х.

О 1) Функция у=3х определена для всех действительных значений аргумента х, т. е. областью ее определения является все числовая прямая. Область непрерывности совпадает с областью ее определения, что легко показать, использовав определение 2.

Дадим аргументу х приращение Ах и найдем приращение функции А у:

у+Ау=3(х+Ах)=Зх+ЗАх

у = 3х

Ау=ЗАх

Найдем предел А у при Дх->0:

lim А у= lim 3Ax=3 lim Дх=3 • 0 = 0.

Аде—0 Дх—*0 Ах—*0

Равенство lim А>>=0 справедливо при любом конечном значении х,

Аде—0

поэтому функция у=3х непрерывна при любом значении х.

2. Функция определена в промежутке — оо<х< + оо, в этом же промежутке она непрерывна. Имеем

у+Ау=3 (х+Ах)² — 2(х+Ах)=

= 3x² + 6xAx+3 (Ах)² — 2х—2 Ах

у=Зх² —2х

А>>=6хАх+3 (Ах)² — 2Ах.

Следовательно,

lim А у— [6xlim Ах+3 (lim Ах)² — 21imAx]_Ajc__₀ = 6x • 0+3 • О² —2 -0=0.

Ах—>0

Согласно определению 2, данная функция непрерывна при любом конечном значении х. #

36. Шп(^-2)=(

    Исследовать на непрерывность функцию у = х² — 2 при х=3. О Для исследования используем определение 1:

lim—2=3²—2=7; /(3)=3²-2 = 7,

т. е. lim (х²—2)=/(3). Предел функции при х->3 равен значению функции

х—3 ' '

при х=3. Следовательно, функция _у=х²—2 в точке х=3 непрерывна. #

Исследуйте на непрерывность функции:

52.1) у = —5х] 2) у=4л:—3.

53. 1) v = 2t²; 2) у=х² + 2; 3) s=t² — t\ 4) у=х—3х²; 5) у=х^ъ\

у= —х³ — 1; 7) у—2л:³.

53. 1) у = х² + 4х+3 в точке х = 2; 2) у=х³ — 5 в точке х=\.