§ 2. Число e. Натуральные логарифмы

Имеет место соотношение

lim

(6.i)

(^l+l) =й(^1+а)

Число е—иррациональное (е«2,718..., более точное значение 2,7182818). Логарифмы с основанием е называются натуральными, для них введено обозначение In.

Десятичные и натуральные логарифмы связаны соотношениями

(6.2)

lgN=Mln N=0,4343 In N;

(6.3)

In лг=—lg JV=2,303 lg N, M

где М—модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

23. Найти натуральные логарифмы чисел: 1) 7; 2) 0,12.

О По формуле (6.3) получим:

1. 1п7=2,303 lg7=2,303 0,8451 = 1,946;

2. In 0,12 = 2^303 • lg 0,12 = 2,303 • 1,0792 = 2,303 • (—0,9208)= —2,121. *

23. Найти десятичные логарифмы чисел по их натуральным логарифмам: 1) 0,2624; 2) 2,1401.

О По формуле (6.2) найдем:

1. lgW= 0,4343 0,2624=0,1140; 2) lgN=0,4343 • 2,1401 =0,9294. *

23. Вычислить с помощью таблиц десятичных логарифмов: 1) е3;

у/ё\ 3) е~³.

О 1) lge³=31ge=3-0,4343=1,3029; е³ = 20,08;

2. l_gv/e=0,51g<r=0,5- 0,4343 = 0,2171;

3. lge^_3= —31ge= —3, -0,4343= —1,3029 = 2,6971; <Г³=0,04978. •

23. Вычислить без помощи таблиц: 1) In 100; 2) In 0,001; 3) ln^/lO.

О 1) In 100=lnl0²=21n 10 = 2-2,303 = 4,606;

2. In0,001 =ln 10^-3 = — 31n 10= — 3 • 2,303 = -6,909;

3. In,/10=0,5In 10=0,5.2,303=1,151. •

23. 

    О Выполнив преобразования и используя формулу (6.1), находим:

    Вычислить пределы:

'> !"J''Jll' ] -

-N'•37-'

/ ] \5-(1/х)-(2/2> Г/ ] \1/<2*ЛЮ

2. lim(l+2x)^5/*=lim 1+—— = lim I+777T—

x-0^V х^О у l/(2x)J 1/(2*)—.00|Д 1/(2x)J J

Г / j \1/<2*Л10

'L«"-l'⁺№jj J ■'^,1;

2. lim = lim (—) = lim 171+Л 1 =

ао\\+Х/ X—оо ^ X ) ^Х/ J

■[ь(^|+;)

23. Найдите натуральные логарифмы чисел: 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 10;

0,3; 6) 0,8; 7) 5,8; 8) 0,24; 9) 15,6.

23. Найдите десятичные логарифмы чисел по их натуральным логарифмам: 1) 2,0794; 2) 3,6889; 3) 1,959.

24. Вычислите с помощью таблиц десятичных логарифмов: 1) е⁵;

2. 3) <Г².

23. Вычислите без помощи таблиц: 1) In 1000; 2) In 0,01;

2. lnyioo.

04)'

Вычислите пределы:

23. 1) lim I 1+^-1 ; 2) lim

х—*-oo \ ЭХ} x—*00

23. 1) lim (1 +4z)^3/5z; 2) lim(l+-

z—► О z—►оо \ Z

- ■> ft® * -(1Й)'*⁰’

§3. Смешанные задачи

Вычислите пределы:

_1Ч .. 4х —1х—2 х +2х—15

36. 1) lim—-j—-—2) lim 5——.

’ х—2 5х — Hjc+2 ⁷ *-з х²—9

36. 1) lim _j ^Ъ —; 2) lim- ²~^

^z~~° v/4+z- y/A—z ^х^⁴ 3- ^/2x+l

„ _1Ч jfx—2 __ч л:+27

36. 1) lim —^2) lim ——.

~-*yfi-2y/2 *—”фс+Ъ

in i\ г n²+a² . .. 4n+l .. 1+2+3 + ...+n

36. 1) lim -3—j; 2) lim _y ■ ; 3) lim

я—»oo W³4"tf³ и—*-oo ^4_W2_|_ 1 я—oo 1 4- 3 + 5 4-... + (2/z—1) x⁴—x²4-2

36. 1) lim —3 2) lim (y/x²+x—x).

x-oo JC³-JC4-1 x-oo^{W 1}

( 2x\^2/(3x) / 5 \^2x

36. im( 1 ~°\

    l)lim[l+-J ;2)lim^l+-j .

irah-l)\

—oo у X)

х-Ю V 3

36. 1) lim ( 1+-) ; 2) lim

x—oo V x ¹

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

Вычислите пределы: Вычислите пределы:

_ч 3*²-17*4-10 _ч 4*² —7*4-3

О ^lim —77 Ti 0 ^llm ^ г;

х—5 Зх —16*4-5 i Зх —2х— 1

lim ^ ^Х ; 2) lim - *

*-~⁵3-у/2х-\ ^у/З+х-у/З-х'

г \/^!1 l-yjl-x²

lim -——z ; 3) lim - •

• vj 3z^z

2x³ + *+l 5x⁴-x³4-2x

⁴>J?. ,♦-«,■+!^;

5. lim(l--V 5) lim f 1+-) .

\ X) x—оо у x)