Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

Глава 6 предел функции

§ 1. Вычисление предела функции

  1. Предел функции. Число А называется пределом функции f(x) при х^а, если для любого числа е>0 можно указать такое 5>0, что для любого хФа, удовлетворяющего неравенству 0 < |jc—я|<6, выполняется неравенство

\f(x)—А\<е. В этом случае пишут limf(x)=A.

х—*а

Если число А1 (число Л2) есть предел функции y=f{x) при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения, меньшие (большие)

а, то А11) называется левым (правым) пределом функции f(x) в точке а.

При этом соответственно пишут lim f(x)—Au lim f(x) = A2.

  1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция f(x) называется бесконечно малой при х->я, если lim /(х)=0. Л'

х—*а

Функция /(х) называется бесконечно большой при х->я, если lim f(x) = оо,

х—*а

или lim f(x)= + оо, или lim /(х)= — оо.

х—*а х—+а

Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1°. Если функции /(х) и ф(х)—бесконечно малые при х-*а, то их сумма /(х)4-ф (х) при х-»я также является бесконечно малой.

2°. Если функция /(х)—бесконечно малая при х-»а, a F(x) ограничен- ная функция, то их произведение f(x) F(x) есть функция бесконечно малая.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

3°. Если при х-*а функция /(х) имеет конечный предел lim f(x) = A, а

X—4J

функция <р(х)—бесконечно большая, то

fix)

lim Г/(х) + ф(х)1 = оо, —7~т=0.

хa L J х—а ф(д:)

4°. Если функция f(x)—бесконечно малая при х-+а, то функция

  1. /f(x)—бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки а функция f(x) не обращается в нуль. Наоборот, если при х->а функция Ф )—бесконечно большая, то функция 1/ф )—бесконечно малая.

Между бесконечно, малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует следующая зависимость.

Если функция f(x) имеет конечный предел при х^а, то ее мож­но представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при х->а. Наоборот, если функция f(x) может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при то эта

функция имеет конечный предел при х^>а, который равен значению постоянной.

  1. Теоремы о пределах. Теорема 1. Если существуют пределы функций f(x) и ф (х), то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций /(х) и ф(х):

lim [/(х)+ф(х)] = 1ш1 /(x)+lim ф(х).

Теорема 2. Если существуют пределы функций /(х) и ф(х) при х^а, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и ф (х):

lim Г fix) • ф (х)1 = lim fix) • lim ф (х).

X—41 х—*а X—41

Теорема 3. Если существуют пределы функций Дх) и ф(х) при х->а и предел функции ф(х) отличен от нуля, то существует также предел отношения /(х)/ф (х), равный отношению пределов функций /(х) и ф(х):

Следствия. 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim Гk f(x) Л=кlim fix).

х—*л х—*а

  1. Если п—натуральное число, то

lim л;"=а", lim %/x=\fa.

х—*а х—ч1

  1. Предел многочлена (целой рациональной функции)

P(x)=aQxn+alxn~1 + а2хп ~2 + ...+ап-1х+ап

при х^а равен значению этого многочлена при х=а, т. е. lim Р(х) = Р(а).

х—*а

  1. Предел дробно-рациональной функции

RМ _ _ ао*" + а1х"~1 + -*- 1х+а*

Q(х) b0xm-l-blxm 1 + ... +bm-\Х+Ьт

при х->а равен значению этой функции при х=а, если а принадлежит области определения функции, т. е. lim R(x)=R(a).

х—*а

Вычислить пределы:

  1. 1) lim (5л;32+х—5); 2) lim -—

*-2V Г ' x-+2 х—Ъ

О 1) По правилу нахождения предела многочлена находим lim (5л;32 + х—5) = 5 *23 — 6*22+2—5= 13.

  1. Так как при х = 2 знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим

*2-*+1 22 —2 + 1

lim = =—3. •

--2 х-3 2-3

п г 5 оч Г Зх2-2х х2-5х+6

1) lim 2) lim —^; 3) lim —-=—-—.

х~-2;—8 х—*о 2 х ►з Зх —9х

О 1) Здесь предел делителя равен нулю: lim (4л:—8)=4 *2 — 8 = 0. Следо-

х—2

вательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Так как lim (4л:—8)=0, то 4л:—8 при х->2 есть величина бесконечно малая, а

обратная ей величина —бесконечно большая. Поэтому при jc—>2

произведение —--5 есть величина бесконечно большая, т. е. lim ———=00.

F 4л:—8 х-+2 4л:—8

  1. Здесь пределы числителя и знаменателя при х-»0 равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при х-»0 получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем

, Зх1 . х(3х—2) Зх—2 3-0-2 2

lim —^—— = lim —7- lim —г—-=7.

х^о2 — 5х о х(2х—5) 2х—5 2-0—5 5

  1. Пределы числителя и знаменателя при х-*3 равны нулю: lim(x2

х—3

  • 5х+6) = 32 —5-3 + 6 = 0, lim(3x2—9х) = 3-З2—9-3 = 0. Разложим квад-

х—3

ратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ах2+Ьх + с = а(х~х^х—х2), где хх и х2—корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на х—3. Используя следствие 4, получим

. х2 —5х+6 (х—3)(х—2) х—2 3—2 1 hm —-=—-—= lim ■■ , = lim —-—ф

Зх — 9х *^з Зх(х—3) *—з Зх 3-3 9

1) lim ...* ; 2) lim —г—\

х~*° х2 \*+2 х +8/

О 1) Пределы числителя и знаменателя при х->а равны нулю. Умножйв числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель у/5—х+ + >/5+х и затем сократив дробь на х, получим

lim I -H—г—- 1= lim r—-—= lim 7— -V/ ' —pr=

x-*-2\x+2 x 4-8/ *—2 x 4-8 *—2 (*4-2)(x2 —2x4-4)

x-4 -2-4 1

jc2—2x+4(—2)2—2(—2)+4 2’ * 4. 1) lim (x3 — 6x2 + 5x— 1); 2) lim 5

7 JC-oo' x-~ao 4x+l

lim 4) lim - ±-3; 5) lim (x- Jx2-Ax).

x *oo JX + 1 X—00 5x —J x—*00

О 1) Первые три слагаемых при х-юо пределов не имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося jc3 за скобки, получим

00

lim 3(\ —Дг—з^)1=(lim х)3 lim (1 —-+Д—^ =

да |_ \ х хг х*/ J V-оо х—оо у х х2, хл)

(при х-юо величины 6/х, 5/х2 и 1/х3—бесконечно малые и их пределы равны нулю).

  1. При х-юо знаменатель 4x4-1 неограниченно растет, т. е. является

величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно

4х+1

малой. Произведение ^ ~ ^ • 5 бесконечно малой на ограниченную величину

(постоянная—частный случай ограниченной величины) есть величина беско­нечно малая, и предел ее при х->оо равен нулю. Следовательно,

5

lim -=0.

х—да 4x4-1

  1. При х-юо числитель и знаменатель—величины бесконечно боль­шие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение оо/оо, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на х:

2x4-3 24-3/х 24-0 2

lim = lim —= -=-

*—«>5x4-1 *—100 54-1/х 54-0 5

(при х-юо слагаемые 3/х и 1/х—величины бесконечно малые и, следователь­но, их пределы равны нулю).

  1. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т. е. на х3:

х4 —2х24-3 х—2/х 4" 3/х3

llm а з - = lim —-j—.

л—да Зх — 5 л—* 3 — 5/х

При х—► оо имеем

lim (х—-4-Д| = оо и lim ( 3—^ ) = 3.

V X X ) х—оо х )

Так как знаменатель есть величина ограниченная, то

х4 —2х24-3 lim —з=оо. х—да Зх — 5

  1. При х-*оо данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин (оо —оо). Умножив и разделив функцию на выражение х+у/х2—Ах, получим

1- / П—Г~\ Г {x-Jx2-4x)(x+Jx2-Ax) х22 + Ах

lim (х-у/хг-Ах)= lim 1м v -= lim

= lim

*-** 1+VI-4/Х 2

' х+у/х2—Ах

х+у/х2—Ах А А

2. •

Вычислите пределы:

  1. 1) lim 3 4-х— 5); 2) lim^3х2+1).

  2. 1) lim^(2x324-х—4); 2) lim (Зх3428x4-10).

  3. 1) lim [(7х+2)(4х—3)(5х+1)]; 2) lim [(х2—1)(х—3)(х—5)1;

х—► 1 х—2

3) lim[(2x—4)(л:-1)(х+2)].

  1. 1) lim (*.+3Х*~2); 2) lim^±i.

х— 1 Х+2 '

9- 0 2)

10. 1 11. 1 12. 1

  1. 1

  2. 1

  3. 1

  4. 1

  5. 1

  6. 1

  7. 1

  8. 1

х—з 2х—6 х—►() Зх +2х 2х3 —2х2 _ Зх3 + х lim —з——т; 2) lim . х—►о 5х3—4х2 х—►о х х—3 4х2—9

  1. lim

lim 7 xxxx. ^

х—з л:2—9 х—-3/2 2x4-3

.. х2 —8x4-15 ч х3 —1

lim —j-——; 2) lim -.

х—5 X —25 х—1 X—1

.. Зх2 —8x4-4 х2 —7x4-10

lim —=———-; 2) lim -у———. х—2 5х — 14x4-8 х—5 х2—9x4-20

24-х—15 Зх2 4-5x4-2

lim —-г—-—-; 2) lim —г—

х—-з Зх 4-7х—6 х—-2/3 Зх 4-8х4-4

lim 2) lim JEILl.

х~6 у/х+3-3 *-~° х

lim 2) lim

А-у]2х-2 фс-\

lim f ‘ -L\ 2) lim f-Лт-Л)

х—з —9 х—Зу х—-1 \^л:3 + 1 х4-1/

lim (х2 — 5x4-6); 2) lim (х34-Зх2).

X—ОО X—-00

lim ■ 22 ; 2) lim ^5+-~\

х—00 X 4-Зх х—оо у X X J

lim 2) lim Х_8

х—оо х—2 х—оо 2х—2

  1. 1) lim (y/x2 —x—x); 2) lim (y/x2 + 5x—x).

X—*00 X—►oo