10. Даны последовательности:

*„ = 3/1-1; 2) *„=4; 3) 4) *„=-537;

2. « / IV 2"

5. *■.= /- , ,_ч; 6) -х:„=——; 7) х„=( --) ; 8) лг„=-

п(и+1) ^{7 п} п+Г ' ^п \ 2/’ ' " 2"—1 Какие из них являются ограниченными?

§ 2. Предел числовой последовательности

1. Предел последовательности. Число а называется пределом последова­тельности х_п, если для любого е>0 все члены последовательности х_п, кроме, быть может, конечного их числа, лежат в е-окрестности (а—г, а+s) точки а, т. е. найдется такое натуральное число N, что при n>N будет выполнено неравенство |x_n—а\<г.

Последовательность может иметь только один предел. Если последова­тельность имеет предел, то такую последовательность называют сходящей- ся\ последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся. Если последовательность (х_п) имеет пределом число а, то пишут

lim х_п = а. В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу а.

«—►оо

2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Последо­вательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Отметим свойства бесконечно малых последовательностей.

1°. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является беско­нечно малой.

2°. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой.

Следствие. Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.

3°. Для того чтобы выполнялось равенство lim х_п = а, необходимо и

«—♦оо

достаточно, чтобы х_п=а-|-а_и, где lim а„=0.

п—*00

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого М> 0 найдется такое натуральное число N, что при n^N выполняется

неравенство \а_п\>М. В этом случае пишут lim а_п = сс.

п-+ао

Если lim а_п = оо и все числа а_п, начиная с некоторого номера N,

положительны, то последовательность (а_п) стремится к + 00: lim а_п= +сс;

п-+со

если все числа а_п, начиная с некоторого номера N, отрицательны, то последовательность (а_п) стремится к — оо; lim а_я=- оо.

и—►ОО

Если (а_п) — бесконечно большая последовательность, то последователь­ность (1 /а_п)—бесконечно малая. Наоборот, если (а„)—бесконечно малая последовательность, то (1/а„) — бесконечно большая.

11. Доказать, что последовательность х_п = 5п/(п+1) сходится к числу 5.

О Согласно определению, число 5 является пределом последовательно­сти (*„), если для любого £>0 можно указать такой номер N, что для всех членов последовательности с номерами n>N будет выполнено неравенство

5 п

<8.

г-5

п+\

Пусть задано произвольное положительное число s; тогда из последнего неравенства получим

5п — 5п—5

п+1

<8, ИЛИ <8.

П+ 1

Решив это неравенство относительно л, находим п>—1.

8

Итак, если в качестве N взять любое натуральное число, не меньшее

• 1, то при всех n>N для любого е>0 будет выполнено неравенство

5 п

5и

<8. Тогда по определению предела следует, что lim =5.

и—со п +1

5 5

Пусть, например, 8 = 0,01; тогда —1= 1=499. Возьмем любой

8 0,01

член последовательности (*„) с номером, большим 499, например п = 500;

5-500 2500 _тт тогда *5оо⁼ crvrv 1 ⁼7л7‘ Находим величину

• 5

500+1 501 1*500 ^— 5| =

п-\-1

2500		5
501		~50\

-50Г^<0-⁰¹-

т. е. |*50₀ —5| <8=0,01. Таким образом, все члены последовательности, начиная с 500-го, находятся в 8-окрестности числа 5, т. е. в интервале 14,99; 5,01 [.

Аналогично для любого заданного числа s>0 можно найти номер N, начиная с которого все члены последовательности попадут в г-окрестность числа 5. ф

12. Доказать, что последовательность х„=п является расходя­щейся.

О Допустим противное: предположим, что последовательность х_п=п

сходится и ее предел равен числу а, т. е. lim х_п=а. Пусть натуральное число

«—►00

N превосходит a: N>a. При любом n>N имеем

\х_п—а\ = \n—a\=n—a>n — N^ 1,

что противоречит определению предела, так как при всех 8 < 1 должно выполняться неравенство |х_и—а|<г. ф

13. Докажите, что:

1 _Л __ч п+1 . __ч 5/2—2 5

lim -=0; 2) lim =1; 3) lim ——

n—00 ft n—ОО п Л—00 ln + J 7

14. Имеют ли предел последовательности: 1 )*„=(— 1)^л; 2) х_п =

=(-i)"+-?

п

15. Докажите, что последовательности: 1) а_и=^; 2) а_п=

3. а_я=-^——бесконечно малые. п²+4

^ гг (-1)^И + 2

16. Докажите, что последовательности: 1) а„ = ;

п

1. а =—!—: 3) а = ” ■—бесконечно малые.

" 2 +1 " п*+4