Глава 5

БЕСКОНЕЧНАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Бесконечная числовая последовательность

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функ­ция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Последовательность (jt_n) называется возрастающей (убывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (меньше) предыдущего, т. е. если для любого п выполняется неравенство х_п+1 >х_п(х_п+1 <х_п).

Последовательность (х_и) называется невозрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, не больше (не меньше) предыдущего, т. е. если для любого п выполняется неравенство

Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последо­вательности называются монотонными.

Последовательность (х„) называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число М (число т\ что для всех чле­нов этой последовательности выполняется неравенство х_п^М (х„^т). Числа Мит называются соответственно верхней и нижней грани­цами последовательности (х„). Тот факт, что последовательность ог­раничена сверху числом М (снизу числом т), геометрически означа­ет, что ни одна точка х„ не лежит правее точки М (левее точки т).

Последовательность (лг_и) называется ограниченной, если существуют два числа т и М такие, что для всех п выполняется неравенство т^х_п^М. Тот факт, что последовательность ограничена числами т и М, геометрически означает, что все ее члены помещаются в промежутке [т, М].

Последовательность (х_п) называется постоянной, если все ее члены совпадают.

Обычно последовательность задается формулой, выражающей общий член последовательности через п. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-YL член последовательности по ее известным предыдущим членам. Такой способ задания последовательности называется индуктивным (или рекуррентным).

1. Вычислить пять первых членов последовательности х„—~—

п+1

О Подставив вместо п последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим х₁=0, х₂ = 1/3, л:₃ = 1/2, *4=3/5, *5 = 2/3. •

2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.

О Для того чтобы число при делении на 3 давало остаток 1, оно должно иметь вид Зл+1; следовательно, общий член последовательности *_и = Зл+1. ф

3. Последовательность задана рекуррентным соотношением х_п = Ъх_п _ i +1. Найти первые члены последовательности.

О Зададим первый член последовательности: пусть х₁ = 2. Полагая в рекуррентном соотношении п = 2, получим *₂ = 3*₂_i + l =3*! + 1 = 3-2+ + 1 = 7. При и = 3, 4, 5 соответственно находим: *₃ = 3*₂ + 1 = 3 7+1 = 22, *₄ = 3*з+1 = 3-22+1=67, *₅ = 3*4+1 = 3-67+1=202. В результате получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202, ... . ф

4. Доказать, что последовательность с общим членом х_п= = 1/(п²—\) монотонно убывает.

О Для убывающей последовательности выполняется неравенство *_и+1<*_и, или *_и+1/*_п<1. Запишем (я+1)-й член последовательности:

1. 1 1 ^х"^{+1 _}(«+1)²-1 ~п²+2п+ 1 -1 ~п²+2п

Тогда *_и+1/*_и = («² — 1)/(и² + 2и)< 1, так как п² — \<п² + 2п при любом натуральном п. Следовательно, данная последовательность является убы­вающей. ф

5. Доказать, что последовательность х_п=^Г^~ ограничена снизу и

п

сверху.

и+1

О Очевидно, *„= >1, т. е. последовательность ограничена снизу.

п

^ п+1 1 1

С другой стороны, имеем =1Н—, где правильная дробь, и,

п п п

следовательно, 1 +—<2, т. е. последовательность ограничена сверху, ф п

6. Вычислите пять первых членов последовательностей:

1) *„=2/1+5; 2) х„=^-р 3) 4) х„=4; 5)

6) х_п = 2п; 7)x„=i+2"; 8) х_я = 4и² + 3"+1;

-j—- при п четном; Ю) х„=-

п—1 ^п и(л+2)

при п нечетном; ^{v 7}

п

7. Напишите общий член последовательности натуральных чи­сел, каждое из которых при делении на 5 дает остаток, равный 3.

8. Напишите общий член последовательности: 1)1, 1/4, 1/9, 1/16,...; 2) 1, 7, 13, 19, ...; 3)2, 4, 8, 16, 32, ...; 4) 1, 7, 17, 31,....

9. Даны последовательности:

« __ч п² __ч 2п „ ?“ ' ^с

) *Л ⁼ ГТ7’ ) ^хп⁼ г , V ) ⁼ „2 ,1 ’ ) ^Хп ⁼ л

П+\’ ₊ „2+1> ■'"» 2и+Г

Докажите, что последовательности 1) и 2)—возрастающие, а 3) и 4)—убывающие.