§ 4. Системы показательных уравнений

32. Решить системы уравнений:

Г З^х-5⁾’=75, Г 4^х - 5^У = 16, J 3^Х-3^,=27, ' (З*-5**45; [2-З^х=18; ^} |3^Х+3⁾’ = 12.

О 1) Перепишем данную систему в виде

|З^х-5⁾’=3-5²,

1. 3^,-5^Х=3²-5.

Перемножив уравнения системы, имеем

(У+^у • 5^Х+, = 3³ • 5³)о(15^х+у= 15³ )o(x+^ = 3).

Разделив первое уравнение на второе, получим

(3*-у-5^у-^х = 3-¹-5)о((315)^х-^у=(315)-¹)о(х-у=-\).

Решение данной системы сводится к решению равносильной ей системы

Г х+V = 3,

• ’ В результате получаем ответ: (1; 2). ф

[х-у=-1.

1. Прологарифмировав каждое из уравнений, получим

2+х

Г xlg4+.ylg5 = lg 16, 2xlg2+.ylg5=41g2, {lg2+*lg3=lgl8 (lg Ig3 = lg2+21g3.

Из второго уравнения имеем xlg3 = 21g3, т. е. х=2. Подставив найденное значение х=2 в первое уравнение, получим

41g2+j>lg5=41g2, или lg5=0, т. е. у = 0.

Итак, получаем ответ: (2; 0). Этим же способом можно было решить и предыдущую систему.

2. Согласно свойствам корней квадратного уравнения, 3^х и З^у служат корнями уравнения z² — 12z+27=0. Решая последнее, находим z_t = 3; z₂=9. Следовательно, 3^х=3, х=\ и З^у=9, у—2 и, наоборот, 3^х=9, х=2 и 3^У=3, у= 1. Итак, получаем ответ: (1; 2); (2; 1). ф

Решите системы уравнений: 33» 1) f2*-3»=12, 2)

Г 2^х-З^ 108, |2*+3'=31; (2^2х-У=55, [2^х-3^},/2 = 5.

» 1) |2^Х-3*=12, |2^у-З^ж=18;

U³=j²;

4)

34. 1) Г 3 -2*+2 • З^ = 11/4,2) ]>*/Ш0=27/10,

;. 1) | 3^Х—4^У = 17, 2) Г З^у -2^6/х=36, {3^Х,2-2^У=7; [5⁾’-2^9/д:=200.

\2^x-3^y=-3/4;

3. |2*+3*«17, |2*⁺²-3⁾'⁺¹ = 5;

35

25^у 10 ООО=5/4;

3. Г 9^х+у—729,

{з*^_,_1*1.

2. '

§ 5. Показательные неравенства

Неравенства вида а^х>с, а^х<с, f(x)^^(x)>f(x)^vг^(х\ где а>0, аФ 1, с>0, называются простейшими показательными неравенствами.

Имеют место следующие равносильные преобразования:

(4.10)

сf>c<

-U>1,

Г 0 <а< 1,

_j*<log_ac;

<log„c 0<в<1, *>lo с;

(4.11)

а <с<

(4.12)

|Дх)>1,

|<p,(jc)><p₂(x)

|0</(х)<1,

Дф1(х)<ф₂(х).

Г а> 1. [х<к>£

L{

36. Решить неравенства:

1. 3^х>4; 2) 6^х2_7х+12>1; 3) (1/3)*^2_5х+8<1/9; 4) (х+3)^х2_5х+б> 1. О 1) Используя преобразование (4.10) при а=3, с=4, получим (3*>4)«-

o(x>log₃4). Ответ'. log₃4<x<oo.

2. (6*²~⁷*⁺¹²>1)<>(6^х2~⁷*⁺¹²>6^о)<Цл:²-7х+12>0)<>|^*^’

Ответ: — оо<х<3 или 4<х<оо.

3. ((1/3)^х2_5*⁺⁸<1/9)^((1/3)*²'^5х+8<(1/3)²)<*>(л:²-5л:+8>2)«»

Г х<2,

о(л:² — 5х+6>0)о ^ Ответ: —оо<х<2 или Зсжоо.

4. Согласно преобразованию (4.12), данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

((д:+3)^х2‘^5х+6>1)о((л:+3)^х2"^5х+6>(х+3)⁰)<й>

"Г х+3> 1, х² — 5х+6 > О Г0<л:+3< 1,

_ [*² — 5х+6<0

Г х>-2, < Гх<2,

I Ь>з

{■

■3<х<

—2, 2<л:<3.

Первая из систем равносильна двум системам, а вторая система решения не имеет, т. е.

х> —2, х<2,

х>3 < — 3 <лг< —2, 2<х<3

U>-2,

-2<х<2, jc> 3.

|х<2 г

\^х>:²’ "L

[*>3

нет решения Ответ: —2<х<2 или 3<х<оо. #

Решите неравенства:

36. 1) (1/3)*< 1/27; 2) 3*>27; 3) 2*²"^8х+18>8.

37. 1) (х²—8х+16)^х_б<1; 2) (лг-2)*²"^6х+8> 1.