Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

§ 4. Системы показательных уравнений

32. Решить системы уравнений:

Г Зх-5)’=75, Г 4х - 5У = 16, J 3Х-3,=27, ' (З*-5**45; [2-Зх=18; } |3Х+3)’ = 12.

О 1) Перепишем данную систему в виде

х-5)’=3-52,

  1. 3,-5Х=32-5.

Перемножив уравнения системы, имеем

(У+у • 5Х+, = 33 • 53)о(15х+у= 153 )o(x+^ = 3).

Разделив первое уравнение на второе, получим

(3*-у-5у-х = 3-1-5)о((315)х-у=(315)-1)о(х-у=-\).

Решение данной системы сводится к решению равносильной ей системы

Г х+V = 3,

  • ’ В результате получаем ответ: (1; 2). ф

[х-у=-1.

  1. Прологарифмировав каждое из уравнений, получим

2+х

Г xlg4+.ylg5 = lg 16, 2xlg2+.ylg5=41g2, {lg2+*lg3=lgl8 (lg Ig3 = lg2+21g3.

Из второго уравнения имеем xlg3 = 21g3, т. е. х=2. Подставив найденное значение х=2 в первое уравнение, получим

41g2+j>lg5=41g2, или lg5=0, т. е. у = 0.

Итак, получаем ответ: (2; 0). Этим же способом можно было решить и предыдущую систему.

  1. Согласно свойствам корней квадратного уравнения, 3х и Зу служат корнями уравнения z2 12z+27=0. Решая последнее, находим zt = 3; z2=9. Следовательно, 3х=3, х=\ и Зу=9, у—2 и, наоборот, 3х=9, х=2 и 3У=3, у= 1. Итак, получаем ответ: (1; 2); (2; 1). ф

Решите системы уравнений: 33» 1) f2*-3»=12, 2)

Г 2х-З^ 108, |2*+3'=31; (2-У=55, [2х-3},/2 = 5.

» 1) |2Х-3*=12, |2уж=18;

U3=j2;

4)

34. 1) Г 3 -2*+2 • З^ = 11/4,2) ]>*/Ш0=27/10,

;. 1) | 3Х—4У = 17, 2) Г Зу -26/х=36, {3Х,2-2У=7; [5)’-29/д:=200.

\2x-3y=-3/4;

  1. |2*+3*«17, |2*+2-3)'+1 = 5;

35

25у 10 ООО=5/4;

  1. Г 9х+у—729,

{з*_,_1*1.

  1. '

§ 5. Показательные неравенства

Неравенства вида ах>с, ах<с, f(x)^(x)>f(x)vг\ где а>0, аФ 1, с>0, называются простейшими показательными неравенствами.

Имеют место следующие равносильные преобразования:

(4.10)

сf>c<

-U>1,

Г 0 <а< 1,

_j*<logac;

<log„c 0<в<1, *>lo с;

(4.11)

а <с<

(4.12)

|Дх)>1,

|<p,(jc)><p2(x)

|0</(х)<1,

Дф1(х)<ф2(х).

Г а> 1. [х<к>£

L{

  1. Решить неравенства:

  1. 3х>4; 2) 6х2_7х+12>1; 3) (1/3)*2_5х+8<1/9; 4) (х+3)х2_5х+б> 1. О 1) Используя преобразование (4.10) при а=3, с=4, получим (3*>4)«-

o(x>log34). Ответ'. log34<x<oo.

  1. (6*2~7*+12>1)<>(6х2~7*+12>6о)<Цл:2-7х+12>0)<>|^*^’

Ответ: — оо<х<3 или 4<х<оо.

  1. ((1/3)х2_5*+8<1/9)^((1/3)*2'5х+8<(1/3)2)<*>(л:2-5л:+8>2)«»

Г х<2,

о(л:2 — 5х+6>0)о ^ Ответ: —оо<х<2 или Зсжоо.

  1. Согласно преобразованию (4.12), данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

((д:+3)х25х+6>1)о((л:+3)х2"5х+6>(х+3)0)<й>

х+3> 1, х2 — 5х+6 > О Г0<л:+3< 1,

_ [*2 — 5х+6<0

Г х>-2, < Гх<2,

I Ь>з

{■

3<х<

—2, 2<л:<3.


Первая из систем равносильна двум системам, а вторая система решения не имеет, т. е.

х> —2, х<2,

х>3 < — 3 <лг< —2, 2<х<3

U>-2,

-2<х<2, jc> 3.

|х<2 г

\х>:2 "L

[*>3

нет решения Ответ: —2<х<2 или 3<х<оо. #

Решите неравенства:

  1. 1) (1/3)*< 1/27; 2) 3*>27; 3) 2*2"8х+18>8.

  2. 1) (х2—8х+16)х_б<1; 2) (лг-2)*2"6х+8> 1.