18. Найдите области определения функций: 1) j>=log₂(6-4x); 2) y=logi_/5(4x—5); 3) у=log₅ (х+8)+log₅ \А—х).

19. Постройте графики функций:

1. у=log₂(x-2); 2) y=log₂|x—2|; 3) j>=log₃(3-x).

§ 3. Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным

При решении показательных уравнений вида a^f(x)=a*^(x) (где а>0, аФ 1) используется следующее свойство: (a^f(x)=а^ф(х)) (/(*)=ф (х^).

Преобразование показательного уравнения к виду а*^{х—а^9{х) выпол­няется многими способами. Ниже рассмотрены некоторые из этих способов.

1. Способ уравнивания оснований

18. Решить уравнения:

1) 2*^2-7*⁺¹² = 1; 2) (1/0,125)²*= 128; 3) 2^х~² = 5²~^х; 4) 2*⁺³—2*= 112.

О 1) По определению нулевого показателя получим (х² — 1х+12=0)<=> Ответ: 3; 4.

2. ((1/0,125)^2х = 128) о((2³)^2х=2⁷)о(2^6х=2¹)о(бх=1)ох=7/6. Ответ: 7/6.

3. Записав уравнение в виде 2^Х-2*5^Х_2 = 1, получим (2^х ~ ² ■ 5^х-2 = 1)о о((2^,5)*"²=1)«'(х-2=0)ох=2. Ответ: 2.

4. (2^х+3-2^дс=112)о(2^х(2³-1)=112)<й>(2^х=112/7)<й>(2^х=16)<й>х=4. От­вет: 4.

2. Логарифмирование обеих частей уравнения. Применение основного логарифмического тождества

18. Решить уравнения: 1) З^2х_3 = 11¹"’^х; 2) 3^х=8.

О 1) Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим

(З^2х"³ = 11^1-х)о((2л:—3)lg3 = (l—x)lg 11)о(2л:1_ёЗ + л;1_ё 11 ==lg 11 + 31g3)<

lg 11Н- 3 lg 3

x=

>(*(21g3 + lgll)=lgll+31g3)<

2. lg 3 + lg 11

2. Согласно тождеству (4.2), имеем 8 = 3^log3⁸; тогда (3^х = 8) о (3^х = = 3^1о*з ⁸)ох=log₃ 8.

К тому же результату можно прийти, логарифмируя обе части уравнения по основанию 3:

(3^х=8)о(х log₃ 3 = log₃ 8)ох=log₃ 8.

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, вычислим приближенное значение корня:

(3^х = 8) о (х lg 3=lg 8) о (х=lg8/lg 3) о (х=0,9031 /0,4771); **1,89. *

3. Преобразование к квадратному уравнению

18. Решить уравнения:

4* + 2^х+1 —8 = 0; 2) 5*+-^=30; 3) 6-2²*-13*6^х + 6-3^2х = 0.

5

О 1) (4^х+2^х+1-8 = 0)о(2^2х+2*2^х-8 = 0).

Решаем квадратное уравнение относительно переменной 2^х:

(2*Ч-2-2*-8=0)~ [I^X_xZ~⁴’o [“^е₌^Т₁^{РеШеНИЯ>} Ответ: 1.

Ответ: 1; 2.

2. (6-2^2х—13 -6^х+6*3^2х=0)о(6*2^2х—13 *2^х-3^х+6-3^2х=0).

Разделив все члены уравнения на 3^2х(3^2х#0), получим квадратное уравнение относительно переменной (2/3)^х:

(6 (2/3)^2х-13 (2/3)^х+6=0)^^|^з|_х~зд ^{0твет: h}

4. Способ группировки

18. Решить уравнение 5²*⁺¹ + 7^х+1 — 175^х—35 = 0.

О (5^2x+1 -h7^x+1 — 175^х —35 = 0)о(5 *25^х+7 -7^х—25^х -7^х—35 = 0)о

Ответ: log₇5; log₂₅7. #

18. Решить графическим способом уравнение 3^x = 2jc+3.

О Построим графики функций у = З^х и =2х+3 (рис. 10). С помощью рисунка находим абсциссы двух точек пересечения графиков. Один из корней заключен в промежутке — 2<х< — 1, а другой—в промежутке 1<jc<2. Приближенно можно считать, что х_х« —1,4 и х₂»1,7. •

Решите уравнения:

27. 1) (0,5)^VT”*= 1; 2) 5^х2_8х+12=1; 3) 2^х2:4^х=8; 4) 9²^=3^2х~⁶; 5) ЮООзе/ОЛ = 100*.

28. 1) 5^х-4=6^х-4;2) 8 =7^Х_5;3) 42*-з₌₇*-1,5.

4) 9^х+2 = 13^2х~¹.

27. 1) 3*⁺⁴—5^Х+З = 3*—5*⁺²; 2) 5^х+1 + 5^х=750; 3) 2^х—2^Х_2 = 3;4) 27^x_2/3-9*"¹=2-3²*^_1-2-3^3x_1.

28. 1) 7^2х—6-7^х+5=0; 2) 2^3_2х—3-2^1_ДС-Н 1 =0;

1Я

3) З^х+1+^-29=0;4) 3-4^х-5-6^х+2•9^Х=0; 5) 4^х+ 3

+6^Х—9^Х=0; 6) 3^2х+1+8^х+1—72^х—24=0.

31. Решите графическим способом уравнения: 1) 2^х=х²; 2) 2—х=

=2'