§ 2. Логарифмическая функция 1. Логарифмическая функция.

Логарифмом числа 7V(7VeR₊) по основанию а(а>0, а^1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число N, т. е.

log _aN=xoa^x=N. (4.1)

Равенство (4.1), выражающее определение логарифма, можно переписать в виде

a^lo*a^N=_N. (4.2)

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы при основании а =10 называются десятичными.

Функция у=1о&дг (jc е R +, а>0, аФ 1) называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция ^=1о^х является обратной по отношению к показательной функции у=а^х (xeR, а>0, аф 1). Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 7).

Приведем основные свойства логарифмической функции.

1°. Область определения: Z>(>>)=R+.

2°. Множество значений функции: £'(^)=R, т. е. вся числовая пря­мая.

3°. Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: log_e 1 =0, log,<z=l.

4°. Функция у=loga* (1 <а<со) возрастает в промежутке 0<х< оо (рис. 8). Если 1<а<оо, то log_flx>0 при \<х<со и 1о&х<0 при 0<лг< 1, т. е. при 1 <а<со логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны.

5°. Функция y=\og_ax (0<а< 1) убывает в промежутке 0<х<оо (рис. 8). Если 0<я<1, то log_ejc<0 при 1<х<оо и log_ax>0 при 0<jc< 1, т. е. при 0<я< 1 логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а логарифмы чисел, больших единицы, отрицательны.

2. Алгебраические операции над логарифмами.

1°. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логариф­мов сомножителей:

п

2. Логарифмирование и потенцирование.

Если число х представлено алгебраическим выражением, содержащим числа я, b, с, ..., то найти логарифм этого выражения—значит выразить логарифм числа х через логарифмы чисел а, b, с, ... . Нахождение положительного числа по его логарифму называют потенцированием.

2. Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях.

1°. Формула перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b

^в т

15. Найти log_1/636.

О I способ. log_1/636=log_1/66² = log,_/6(l/6)^_2= —2.

1. способ. (log_1/636=*)■*>((1/6)* =36)о(6 *=6²); х= —2. ф

15. Решить уравнения: l)log₆x=—2; 2) log_x8= —1/2.

О 1) (log₆x= -2)<s>(x=6'²); х= 1/36;

2. (log^8= — 1/2)'o(jc^-,/2 = 8)o(x^_1,2)^_2 = 8^-2); *=8-²=l/64. «

15. Найти области определения следующих функций:

1. у=log^e—2х); 2) j=log_1/3(2x+6);

2. у=log₃ (х+6)+logi/з (6—дс).

О 1) Здесь 8 — 2х>0, х<4, т. е. — co<D(y)<4.

2. Имеем 2х+6>0, 2х>—6, х> — 3, т. е. — 3<D(y)< оо.

„_ч „ Г х+6 > О, fjc>—6, , _ч

3) И„*„ |_б_^_>0 =|_<<(. е. -₆<D(,)<₆. .

18. Построить график функции j>=log_1/2(4—2х).

О Областью определения функции служит беско­нечный промежуток —оо<Z>(>>)<2. Найдем точки пере­сечения графика с осями координат. Полагая >>=0, получим уравнение log_1/2(4—2х)=0, откуда х=3/2. При х=0 имеем >>=log_1/24= —2. График функции изображен на рис. 9. •

18. Вычислите х: 1) log_1/v_(l/8)=x; 2) log_3V_(l/27)=x; 3) log,0,125= -3; 4) log,4= -1/2;

log₁₆x=3/4; 6) log_sx=-3.