Глава 1

ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ

§ 1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа.

ГРАНИЦА АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ

Модуль разности между точным числом х и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа х и обозначается через а, т. е. \х—я| = а.

Число а называется приближенным значением точного числа х с точностью до А а, если абсолютная погрешность приближенного значения а не превышает А я, т. е. \х—а\^Аа.

Число А а называется границей абсолютной погрешности приближенного числа а. Существует бесконечное множество чисел А а, удовлетворяющих приведенному определению; поэтому на практике стараются подобрать возможно • меньшее и простое по записи число А а.

По известной границе абсолютной погрешности А а находятся границы, в которых заключено точное значение числа х:

(л: = а ± Аа)о(а—А а < х ^ а+Аа).

1. Даны приближенные значения числа л: = 2/3; а_х— 0,6; я₂ = 0,66; я₃ = 0,67. Какое из этих трех приближений является лучшим?

О Находим:

2 ,		2 3	1	2		2 33
--0,6	—	3_5	II Сл 1 я ю II	--0,66	—	3 50

2		2	67	1
-—0,67 3	—	Г	100	“зоо

Лучшим приближением числа х является д₃ = 0,67. ф

2. Длина детали х (см) заключена в границах 33 <*<34. Найти границу абсолютной погрешности измерения детали.

О Примем за приближенное значение длины детали среднее арифмети­ческое границ: я=(33 + 34)/2 = 33,5 (см). Тогда граница абсолютной погреш­ности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5 (см). Величину А а можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т. е. А я=(34—33)/2=0,5 (см). Длина детали х, найденная с точностью до Ад=0,5 (см), заключена между приближенными значениями числа х:

33,5—0,5 ^*^33,5+0,5; х=33,5 ±0,5 (см). #

3. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел: 1) 0,8; 2) 7,6; 3) 19,3; 4) 563,58.

4. Граница абсолютной погрешности приближенного значения 386 числа х равна 0,5. Укажите границы, в которых заключено число х.

5. Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полу­ченных в виде неравенства 37<jc<38.

6. Амперметр дает точность ±0,02 А. При измерении силы тока получили 10,63 А. Укажите границы этого числа.

7. Атомная масса водорода 1,0082 ±0,0005, а меди 63,44 ±0,15. Укажите границы приближенных значений этих чисел.

8. Площадь квадрата равна 24,5±0,3 (см²). Найдите границы измерения площади квадрата.

§2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа. Округление приближенных значений чисел

1. Верные и значащие цифры числа. Цифра т приближенного числа а называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра т.

Цифра т приближенного числа а называется верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра т.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения чирла, все цифры должны быть верными.

Наиболее употребительна такая запись приближенного числа (например, в математических таблицах), при которой цифры верны в строгом смысле.

Граница абсолютной погрешности А а находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.

Цифры в записи приближенного числа, о которых не известно, являются ли они верными, называются сомнительными.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

2. Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом а₁ с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности \а—а₁\ называется погрешностью округления.

При округлении числа до т значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее т-й значащей цифры, или при сохранении разрядов заменяют их нулями. При этом если первая слева из отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.

При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставлен­ной значащей цифрой.

Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.

9. Найти границу абсолютной погрешности приближенного значения 0,1968 числа х, все цифры которого верны в строгом смысле.

О Граница абсолютной погрешности этого числа равна 0,00005, т. е. половине единицы последнего разряда, сохраняемого в записи. #

10. Указать верные цифры (в широком смысле) следующих чисел: 1) 3,73 + 0,056; 2) 3,627 + 0,0008; 3) 4,732±0,06; 4) 561 274 + 500.

О 1) Граница погрешности А а=0,056 не превосходит единицы разряда десятых (неравенство 0,056 <0,1 верное). Следовательно, верными являются цифры 3 и 7.

2. Так как А а — 0,0008 <0,001, то все цифры приближенного числа 3,627 верны.

3. Поскольку Аа = 0,06 <0,1, верными являются цифры 4 и 7.

4. Так как Аа = 500 < 1000, то верны цифры 5, 6 и 1. #

И. За приближенное значение числа 26,7 взято число 27. Являются ли цифры числа 27 верными?

О Так как 126,7 — 271 = 0,3 < 1, то цифры 2 и 7 — верные в строгом смысле. #

12. Приближенное значение числа 9,587 + 0,03 округлить до первого справа верного разряда.

О Первая справа верная цифра находится в разряде десятых, поэтому число 9,587 округляем до десятых: 9,587 «9,6. Новое значение границы погрешности А а равно сумме границы погрешности 0,03 и погрешности округления 0,013, т. е. Ая=0,03+0,013 = 0,043 <0,1. Число 9,6 является приближенным значением числа 9,587 с точностью до 0,1. Цифры 9 и 6 верные. #

12. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чи­сел: 1) 0,028+0,004; 2) 0,463 + 0,0008; 3) 0,078 + 0,002; 4) 12,78 + 0,0005; 5) 375 + 20.

13. Назовите верные цифры числа ля3,14, считая я»3,1416.

14. За приближенное значение числа 999,82 взято число 1000. Укажите верные цифры числа 1000.

15. Сохраните только верные цифры в записи следующих при­ближенных значений чисел: 1) 280+10; 2) 8900+100; 3) 530 000+100; 4) 5740 ±10.

16. Округлите до первого справа верного разряда приближен­ные значения данных чисел: 1) 0,3281 ±0,05; 2) 2,0637±0,0025;

14,0367 ±0,8; 4) 24,734 ±0,06.

12. Округлите приближенные значения данных чисел до первого справа верного разряда и запишите эти числа в стандартном виде:

12378±25; 2) 15763±50; 3) 8724±25; 4) 812±6.

12. Укажите границу погрешности приближения, если в записи приближенных значений данных чисел все цифры верные (в широком смысле): 1) jc«0,56; 2) jc«84,3; 3) *«5,10; 4) л:«4,100.

13. Укажите границу погрешности приближения данных чисел, записанных в стандартном виде (все цифры верные в широком смысле): 1) 4,28 10²; 2) 4,2800 10²; 3) 2,001 -ИГ⁴; 4) 3,60 КГ³.