Глава 4 функция. Логарифмическая и показательная функции

§ 1. Функция. Область определения и множество значений функции

Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение у.

Символически функциональная зависимость между переменной у (функ­цией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства y=f (x), где / обозначает совокупность действий, которые надо произвести над х, чтобы получить у.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому значению аргумента, называется частным значением этой функции. Напри­мер, функция y=f(x) при х=а принимает значение y=f(a).

Областью определения (существования) функции D(y) называется мно­жество всех действительных значений аргумента х (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Множеством значений функции Е(у) называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать.

Для задания функции необходимо и достаточно задать закон соот­ветствия /, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения D(y).

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

1. Дана функция /(jc) = x³ — 2х²+х— 1. Найти /(0), /(1), /(— 1), /(2)-

О Чтобы вычислить значение /(0), надо в данную функцию вместо аргумента х подставить его значение х=0. Имеем /(0) = 0³ — 2 0²Н-0— 1 = — 1. Аналогично получим /(1)= —1, /(— 1)=— 5 и /(2)=1. •

2. Найти области определения функций:

О 1) Здесь на х не накладывается никаких ограничений, поэтому функция у=х² определена на множестве R.

2. Если *=0, то у не имеет числового значения (на нуль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) у принимает действительные значения, поэтому областью определения служит вся числовая ось, кроме точки х=0.

3. Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решив уравнение 2х—6=0, найдем его корень х=3. Таким образом, область определения D(y) есть вся числовая ось, кроме точки х=3.

4. Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение х² — 5x4-6=0, найдем его корни: х_х =2 и х₂ = 3. Следовательно, область определения £>(>>)—вся числовая ось, кроме точек х=2 и х=3. ф

3. Найти области определения функций:

1. J

   Зх—2 2х+6*

   у=\/х; 2) у=у/2х-4; 3) у=у/х+у/х-1; 4)у=

О 1) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэто-

му функция у=у/х определена для всех значений х, удовлетворяющих

неравенству х^О, т. е. 0^D(y)<co.

2. Решив неравенство 2х—4^0, получим х^2, т. е. 2<D(^)<oo.

3. Найдем область определения каждого из слагаемых; общая часть этих областей и будет областью определения данной функции. Для первого слагаемого х^О, а для второго х^1. Тогда областью определения суммы у/х+у/х— 1 служит промежуток 1</)(^)<оо.

4. Функция определена для всех значений х, удовлетворяющих нера-

>0. Таким образом,

Зх—2

венству

2x4-6

{

*>2/3, х< —3.

-Гх^2/3, Зх—2 _Л ( х> — 3 2x4-6

Следовательно, областью определения функции является совокупность

4. 1) Дана функция F(x) = jt⁴ —л;³ + 2л:²+4. Найдите F(0), /'’(—l)

и F(2).

2. Дана функция s(t)=t² — 6t4-8. Найдите $(0), $(2) и .?(—1).

5. 1) Дана функция Дл;)=л;⁴—jc² +1. Покажите, что /(l)=/(—1).

Дана функция /(jc)=jc⁴4-x² + 5. Покажите, что /(2)=/(—2).

6. 1) Дана функция /(jt)=jt³+jt. Покажите, что Д1)=—/(—1).

Дана функция /(х)=х⁵+х^ъ. Покажите, что /(2)=—/(—2). Найдите области определения функций:

7. 1) у=х²; 2) y=x² — l; 3)>>=Jt³4-l.

10. 1)у=уг^гх; 2) J>=yi8—6jc; 3) у=у/Ъх-\2.

11. 1) y=yfx+yj4—дс; 2) у=у/х-2+j х-5.

12. 1)j;=3₄/5^-^4₌; 2)7=77^+-!-.

фс-3 ¹

10. 1) y=yjх^г — 2х—8; 2) 7=_ч/дс² + 8л:+15; 3) у=у/(2—л:)(5+л:).

и ,ч / *—8 Ux—S

^{14 1)у}~4т=Г*