§ 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

00

3) Вычислите сумму членов ряда 3) Вычислите сумму членов ряда

» 2п+1 ” 1

„=1 п²(п+1)² „=1 п(п+ 1)(л+2)

§ 1. Тригонометрический ряд фурье

1. Гармоники. Простейшей периодической функцией является синусои­дальная функция /(jc) = ^4 sin (cojc+ф), где А, ю и ср—постоянные. Она называется простой гармоникой.

Функция f(x) описывает гармонические колебания, которые обусловли­ваются различными причинами. При этом: А—амплитуда колебания (размах колебания); сох+ф—фаза колебания; ф—начальная фаза колебания; со—круговая частота колебания.

I вариант

ограниченной линиями у=cosx, л:=0, У—1/2.

2. Вычислите объем тела, огра­ниченного поверхностями z=2л:+2, у=х², jc=0, у=9, z=0.

3. Вычислите площадь части по­

верхности цилиндра у=х², ограни­

ченного плоскостями z=0, z=6—х—

3) 4) 5) -£=; 6) ^ 33. 1) ^L;

J г²—х¹ ау/а²—х² ау/х²—а² 2х. V^х 1

f(5f-2) f(3f²-l) ^ _^fi_2_vp/2 "V4 n - • 21 •

\/З^Л y/i^l 2(ax+b)³¹²’ (x²+l)³'²’ x 2x³ з 2x 3 4

’³⁾ (1 _JC²)3/2 ^{; 4) _}(_x4_ 1)3/2 - ³⁵’ 1) (j__lxyi2 ’ ²> ^_(_x2_ 1)3,2 ; ³)

1 вариант

2₃2х-3_₉х-1 _{+ 3}2х _{= 675}

1. 3Решите уравнение

4log2X-log₂*-2 ^

5log₂x+l

1 Очевидно, что при х-> — 2 функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при х->—2 стремятся к нулю. Сократив дробь на х+2, находим

1 Умножив обе части данного неравенства на (х—4)² (х+3)², получим неравенство

(х-3)²(х-2)(х+1)(х-4)(х+3)^0,

имеющее два посторонних решения —3 и 4, которые надо исключить из множества решений. Левая часть последнего неравенства обращается в нуль в точках —3, —1, 2, 3 и 4. Таким образом, получаем промежутки знакопостоянства —оо<х<—3, —3<х< —1, — 1<х<2, 2^х<3, 3<х<4 и 4<х< + оо (рис. 22).

1И. Найти критические точки функции j=/(x), т. е. точки, в которых /' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

3. 2Исследовать знак производной /' (х) в промежутках, на которые

3найденные критические точки делят область определения функции / (х). При

1 См. § 4 и 6 гл. 9

1cos (a — P) cos p — sin (a — p) sin p

1 Докажите тождество

tg a tg p+(tg a+tg P) ctg (a + Р) = 1.

4. 1Докажите тождество

2 sin 20° sin 50° sin 70° = sin 80°.

5. Решите уравнение

>/3sinA:+cosx= 1.

1 Решите уравнение

sin Зх+sin x=2 sin 2x.

1 Иногда частотой называют величину со. Она выражает число колебаний, совершаемых точкой Р в течение 271 секунд.

1образной для функции/(х) в промежутке а^х^Ь, если в любой точке этого

2промежутка ее производная равна / (jc):

3F'(x)=f(x)=>dF(x)=f(x)dx, a^x^b.

1по дифференциалу / (х) dx есть действие, обратное дифференцированию,—

2Отыскание первообразной функции по заданной ее производной / (х) или

3интегрирование.

1

3

1 Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины и, соответствующей промежутку а^х^Ь изменения независимой переменной х, выполняется по следующей схеме:

1 Так как плотность воды равна 1000 кг/м³, то вес воды в объеме 1 м³ составляет 9,807 • 1000=9807 Н. Поэтому вес dP слоя воды в объеме dV равен 9807яг² <йс.

1 Извлеките корень yjl+2/^/3.

2+ 16 = 0.

1 /Ч9у = 0; 2) -^-2^+5у = 0; 3) /'+4/ + 7>> = 0.

1 Скрещивающиеся прямые. Чтобы найти расстояние между скрещи­вающимися прямыми а и Ь, достаточно через прямую b провести плоскость осЦд и из любой точки А прямой а провести к плоскости а перпендикуляр AA_t (рис. 159).

1 1 / 1 \ 1 1

1. 1Вычислите площадь фигуры,

2—у, х = 0, у—4.

1 4) ^—^7', 5) 6) 70. 1) Х! = -5; х₂=4; 2) x_t=2,5; х₂ = 5;

а+5 За+l 4—х 5у+2

3. х-2\ 4) лг! = —0,75; х₂ = 1; 5) ^=-3,5; у₂=-1; 6) z, = -4; z₂ =9; 7) x_t =

= —3; х₂=2/3; 8) *i = 5; х₂=6. 71. 1) x_U2= ±1; х_ЗА= ±2; 2) х_1-2= ±3; х₃,₄ =

= ±5; 3) дс1,₂= ±1/3; х_зл= ±2; 4) х_и2= ±1/2; х₃,₄= ±4. 72. 1) (х—2)(x+2)x

х(2х—1)(2х+1); 2) (x-2)(x+2)(x-ll)(;c+ll). 73. 1) *i = -3; х₂=2; х₃ = 5;

1 ----- -; 3) lg. j) _nsS4_; 2) лЗ*6. 19. 3 628 800. 20. 12!

(л+1)! (и-5)!

1 я5. 2. я/². 3. 20я см². 4. (яа/2)(я+2#sin(cp/2))sin^_2(cp/2). 5. 32Я^/3/3.

6. 9 см. 7. 12яя². 8. у/М² + k²N². 9. QKy/3. 10. 0,5яя cos²(a/2)sin^-2(cp/2) х

xcos^_1a. 11. я*²^^^,^^{71 см2}* ^(4у/3 + 1)/6. 14. nr²sin х 490