Глава 28

к 2/cosx cos3x cos5x \ / sinx sin2x sin3x 2. 1) ———I + - + - + ...)+( — + — I^-...);

1. n\ 1 3² 5 / V 1 2 3 ¹

8 ® sin(2« — l)x ® ^ sinwx 4/ sin3x sin5x

n 4/cosx cos3x cos5x \ тс² cosx cos2x cos3x

Гк{~+—+—+•■} ⁹• *) n~~⁺~p i^⁺-^;

cos x cos 3x cos 5x 3 1/ cos 3x cos 5x \

—₊—₊—₊.., 3, ₊—-..j 4,

2_V'3 /cosx cos5x cos7x \ Зя 2 12

( — + —...). 11. 1) —H—cosx—3 sinx—-sin 2x+—x

V 1 5 7 J 4 к 2 Зк

3.1 2 31 3ti 2/

xcos3x—-sin3x—-sin4x+ cos5x—-sin5x—-sin6x+...; 2) ——-I cosx+

4 5²tc 5 6 8 7i I

2cos2x cos3x cos5x 2cos6x cos7x \ 4/ cos3x cos5x

1. -

)4 / sin3x sin5x \ 4/ tix 1 2ях 1 Зтсх \

; 4) -I sinx —I ... 1. 13. -I sin -sin H—sin ... I.

n\ 3² 5² / Д 2 2 2 3 2 /

12/ 2 пх впх \Onx \ 1 МП

cos—4-cos—+cos——+...). 15. - У — x

4 n²\ I² З² 5 J п_пГХ *²п^ъ 2п J

0. / nx 1 2nx 1 3 nx 1 4пх \

xsin2nnx. 16. - sin——sin +-sin —-sin +...).

tcV 3 2 3 3 3 4 3 J

Зачетная работа.

4/ sin3x sin5x \ ® (— l)ⁿ⁺¹ sinnx

1вариант. 1) H sinx+ 1 +... ; 2) 2 У . II вариант.

n\ 3 5 / .Ti *

Глава 29

4. 1) Кольцо 4^x²4-.y²^16; 2) множество точек, лежащих вне эллипса х²/9+у²14=\ и на его границе; 3) множество точек, лежащих вне круга радиуса R = 2 с центром в начале координат. 8. I) —2/3; 2) 2/5. 9. I) — 2<х<2, —0,5х+3<^^х+6 и 2<х<6, х^у^ — 0,5x4-9; 2) 0<х<2, —x4-4<j;^x+4, 2<х<4, х<>><х4-4 и 4<х<6, х<^<—х4-12; 3) О^х^З, 0<j<₄/9— х²; 4) О^х^З, х²^у^ Зх; 5) 0<х<4, —2_>/x<j^2_>/x;

2. 1<х<4, 1/x<j>^x. 13. 1) ^=3х² — бх^Н- 12х²>>², — Зх²4-8х³^—Зу²;

дх оу

dz 3 dz Зх dz 13 у dz 13х dz _ 1 __х/у

дх у^У ду >>² ’ dx (x4-4j>)²’ dy (х4-4у)²’ dx у

т~=т~’ ^14ф ^ ^{_3 и _6;} ~^{3 е3 и Зе3; и}

с>> jr дх 2х—у ду у—2х

-1/2; 4) 3 и 1. 15. 1) dx+2dy; 2) 0,17; 3) 0; 4) dx+0,5dy. 22. 1) 8/3; 2) 76/15; 3) 16; 4) 24; 5) 22,5; 6) -0,2. 23. 1) 4,5; 2) 51,2j_3^25,6; 4) 2,6; 5) 0; 6) 106/15. 24.

1) 65/12; 2) 45/8; 3) 175/32. 25. 1) fdy f”f(x,y)dx; 2) jdxjf(x, y)dy+

0 0 0 0

+ f^vfiIx f f(x,y)dy; 3) fdy f f(x, y)dx+f dy j f(x,y)dx; 4) f dx f f(x, y) x

0 0 0 /77 Г 4 0 1/4 1/x

2. 4 4 V^16-^

xdy4-f ^x j/(x, >>) Jy; 5) j dy J /(x, >>)flfx. Зачетная работа. I вариант,

* о ,

2. , ,

1) 36; 2) 1/12; 3) \dy J f(x, y)dx+ $ dy ] f(x, y)dx. II вариант. 1) 12,8; 2)

0 y(2 4 yf 2

14 3 4

56,25; 3) J dx j /(x, y)dy+\dx f f(x,y)dy. 29. 1) 16я³я; 2) 31,5; 3) 52/3;

1/4 1/x 1 l,5x —0,5

2. 15./3/8; 5) -1/6. 30. 1) 52л/3; 2) 5я; 3) 1,5. 31. 1) 4я; 2) я1п2; 3) 196я/3.

32. 1) 31,5-81п8(кв. ед.); 2) 6-41п2 (кв. ед.); 3) ф.-\ (кв. ед.); 4)

(л—2_ч/2)/4(кв. ед.); 5) 8/3 (кв. ед.); 6) 4/3 (кв. ед.). 36. 1) 4л/3 (кв. ед.); 2) л/8 (кв. ед.). 37. 9я/8(кв. ед.). 38. (4тс+3_ч/3)/б(кв. ед.). 43. 1) 32(куб. ед.); 2) 7/12 (куб. ед.); 3) 64/3 (куб. ед.); 4) 64/3 (куб. ед.); 5) 32/3 (куб. ед.); 6) 1,55 (куб. ед.); 7) 8/3 (куб. ед.); 8) 26 (куб. ед.). 44. 1) 128л (куб. ед.); 2) 18я(куб. ед.); 3) я/3 (куб. ед.); 4) 16я(куб. ед.); 5) (16^/3—22,5)я (куб. ед.); 6) 40,5я (куб. ед.). 48. 1) 3^/29 (кв. ед.); 2) 128 (кв. ед.); 3) 16лЛ² (кв. ед.); 4)

6. (кв. ед.); 49. 1) 16л ( 2—^/3) (кв. ед.); 2) 13я/3(кв. ед.); 3) 36^/2я (кв. ед.); 4) 2(я—2) (кв. ед.); 5) 4_%/2л(кв. ед.). Зачетная работа. I вариант. 1) (З^/З —я)/6(кв. ед.); 2) 76,5(куб. ед.); 3) 1 б^/З/З(кв. ед.). II вариант. 1) 17,5—6In6(кв. ед.); 2) 388/15(куб. ед.); 3) 16^3/3(кв. ед.). 52. 48. 53. 512/с/З.

52. 4/3. 55. 194,4. 56. nkR*/2. 57. 2foiln3. 60. 1) 5,=72(куб. ед.), 5,,=48(куб. ед.); 2) 5* = 64 (куб. ед.), S,=48 (куб. ед.); 3) S'* =128/3 (куб. ед.), 5_У=0; 4) 5*=4(куб. ед.), S„=6(куб. ед.); 5) S_x= 12,8(куб. ед.), 5_у=4(куб. ед.).

61. S_x= 12(куб. ед.); =6(куб. ед.). 62. S_x= 156(куб. ед.), S_y=90(куб. ед.). 66. 1) С(1; 4/3); 2) С(0,45; 0,45); 3) С(1/2; 1/2); 4) С(1,5; 1,8); 5) С(я/2; л/8). 67. С(2; 3). 68. С(2,5; 3); если 5=1, то С(2; 8/3). 69. С(0,8; 0,45). 70. С (8^/2/к; 0).

72. 1) 1_Х= 18(ед.⁴), Ту = 8(ед.⁴), /₀=26(ед.⁴); 2) 4=64/3(ед.⁴), /„=64(ед.⁴), /₀=256/3 (ед.⁴); 3) /,=2/7 (ед.⁴), /,=2/15 (ед.⁴), /„=44/105 (ед.⁴); 4) /,=

= 2/9(ед.⁴), /,=^--2(ед.⁴), /₀=^--^(ед.⁴). 74. /_л= 1/18(ед.⁴), /,=4/7(ед.⁴),

А)=79/7 (ед.⁴). 75. /*=/,= 14/45 (ед.⁴), /₀=28/45(ед ⁴). 76. /*=4(ед.⁴), =8/3(ед.⁴), /₀ = 20/3 (ед.⁴). Зачетная работа. I вариант. 1) 820&; 2) 5^=40(куб. ед.), S, = 112^/3 (куб. ед.); 3) С(0; 5/7); 4) /,= 128(ед⁴), /„= = 288(ед.⁴), /₀=416(ед.⁴). II вариант. 1) 42fc; 2) &₍.=9,/3(куб. ед.), S_y= 121,5(куб. ед.); 3) С(0; 10/7); 4) 4=8/3(ед.⁴), /,=32/3(ед.⁴), /_О=40/3(ед ⁴).

Богомолов Николай Васильевич

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Зав. редакцией Е. С. Гридасова Редактор А. М. Суходский Мл. редакторы Г. В. Вятоха, Н. П. Майкова Художественный редактор В. И. Пономаренко Технический редактор А. К. Нестерова Корректор Р. К. Косинова

ИБ № 7816

Изд. № ФМ-952. Сдано в набор 03.03.89. Подл, в печать 16.10.89. Формат 60 x 90Vi6- Бум. офсет. № 2. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Объем 31,0 уел. печ. л. 31,0 уел. кр.-отт. 29,91 уч.-изд. л. Тираж 100000 экз. Зак. № 1028. Цена 1 р. 10 к. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая> Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва,

Валовая, 28.

2) Решите уравнение

I. Найти производную /' (х).

5) Решите уравнение

_Л . /4я \ /4 я \

2sinl ——х I — sin I 1 = 0.

I вариант

1. Вычислите sin 2a, cos 2a и tg2a, если sina=l/2 и я/2<а<я.

2. Вычислите sin (a/2), cos (a/2) и tg(a/2), если cos a=3/5 и 37i/2<a<2rc.

3. Докажите тождество

2sina+sin2a ,a

=ctg

2 sin a—sin 2a 2

5) Решите уравнение

sin 2x=cos x—cos Зл:.

1. Основные формулы интегрирования. Функция F(x) называется перво­

5) Решите уравнение х⁴—4х² +

57. Найдите частные решения уравнений: