§ 15. Задачи на составление систем уравнений

107. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое равно 12. Найдите эти числа.

108. 

     Рис. 5

     Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 37 см, а его площадь составляет 210 см².

Найдите длины катетов.

107. Площадь прямоугольника рав­на 972 см², а длина его диагонали равна 45 см. Найдите длины сторон прямоугольника.

108. Периметр прямоугольного тре­угольника равен 90 см, а его площадь равна 270 см². Найдите длины сторон треугольника.

109. Площадь прямоугольника рав­на 1080 см², а его периметр равен 138 см. Найдите длины сторон и диаго­нали прямоугольника.

110. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке —12. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1 и в остат­ке —20. Найдите это число.

§ 16. Простейшие задачи линейного программирования с двумя переменными

107. Найдите наибольшее значение линейной формы z=2x₁+x₂ при условиях

Зх₁+х₂<9,

2*_х+4*₂ <16,

х^0, ^U

х₂>0.

О Учитывая, что х^0 и х₂^0, строим прямые Зх₁+я:2=9 и 2x₁4-4a:₂ = 16 только в I четверти (рис. 5). Множеством точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (*), является выпуклый много­угольник OAED (многоугольник решений). Вершины А, Е и D много­угольника находим путем решения систем уравнений:

j3x^-9, ^ (3x_l+x₂-9 (2x₁+4x₁-16,

1x2=0; \2x₁+4x₂ = 16; |x₁=0;

Среди множества этих точек надо найти такие точки, в которых функция z=2x₁ +х₂ принимает наибольшее значение. Построим прямую 2х₁+х₁=0, т. е. х₂=—2х₁. При увеличении z эта прямая перемещается параллельно самой себе. Наибольшее значение z достигается в одной из вершин многоугольника.

Находим значения функции z=2x_t+x₂ в вершинах многоугольника: z₀=0, z_A = 2-3+10 = 6, z_E=2-2+1-3 = 7, z_D=2 0+1-4=4.

Таким образом, при х₁ = 2, х₂ = 3 функция z=2x₁+jc₂ достигает наибольшего значения z_max = 7. ф

107. Требуется составить план выпуска двух видов изделий на четырех участках цеха, чтобы получить максимальную прибыль от сдачи этих изделий. При этом накладываются следующие ограни­чения: время работы на 1-м участке не превышает 16 ч, на 2-м участке—30 ч, на 3-м—16 ч и на 4-м—12 ч.

В таблице указано время (в часах), необходимое на изготовле­ние каждого из этих двух видов изделий на каждом из участков. Нуль означает, что изделие на данном участке не изготовляется:

Изделия	Участки
	1	2	3	4
I	4	3	0	2
II	2	6	4	0
Возможное время работы участка, ч	16	30	16	12

Цеху начисляется прибыль: 3 руб. при реализации одно­го изделия I вида и 4 руб. при реализации одного изделия II вида.

О Обозначим через х₁ число изделий I вида, а через х₂ число изделий

1. вида.

На 1-м участке затрачивается 4х₁ часов на изготовление изделий I вида и 2*2 часов на изготовление изделий II вида, т. е. всего 4x₁-h2x₂ часов. Так

_я ' 3х,+6х,=30 4х,+2х_г=16 ' ^г

Рис. 6

как время работы на 1-м участке не превышает 16 ч, то 4x_t-h2x₂^ 16.

На 2-м участке затрачивается 3jc_± часов на изделия I вида и 6х₂ часов на изделия II вида, всего не более 30 ч, т. е. 3x_t + 6х₂ < 30.

1Щ\Що) \ х

На 3-м участке затрачивается 0 ч на изделия I вида и 4х₂ часов на изделия

1. вида, т. е. 4лг₂<16.

На 4-м участке затрачивается 2х₁ часов на изделия I вида и 0 ч на изделия II вида, т. е. 2x^12.

От реализации х₁ изделий I вида цеху начисляется Ъх₁ рублей прибыли и от реализации х₂ изделий II вида 4х₂ рублей прибыли. Общая прибыль цеха

составляет Зх_х+4х₂ М атематическая равенств (руб.), где х^О и *₂^0. модель задачи описывается системой линейных не-

^г 4х₁ + 2л:₂ < 16, 3*_х 4- 6л:₂ ^30, 4*2 < 16,

2*! <12, *1^0,

На множестве решений этой системы неравенств требуется найти наибольшее значение линейной формы z=3*₁+4*₂.

Построив прямые 4*₁4-2*₂=16, 3*₁+6*₂ = 30, 4*₂ = 16 и 2х₁ = 12, получим замкнутый многоугольник OABCD (рис. 6). Вычислим координаты его вершин:

{S.;'¹ •«*<* {£;£.*

is^r³⁰' &;“■

Подставив координаты вершин в выражение линейной формы, получим: z_x = 3*6+40 = 18; z_B=3-6+4*2=26; z_c=3-2+4-4=22; z^ = 30+4-4= 16.

В точке В (6; 2) линейная форма достигает максимума: z_max=26.

Таким образом, наибольшая прибыль от сдачи двух видов изделий составляет 26 руб. Она будет получена, если цех изготовит 6 изделий I вида и 2 изделия II вида. #

107. 1) Найдите наибольшее значение линейной формы z=

Зх_х+х₂<9₉ х₁+2л:₂<8,

*1^0, х₂>0. 2) Найдите наибольшее значение линейной формы z=2x₁ + 3x₂ при условиях | х_г + 2х₂ ^ 10,

2х± ~\~х₂ < 8, х^О, дг₂^0.

107. Участок цеха выпускает изделия двух видов. На одно изделие I вида расходуется 5 кг меди и 1 кг алюминия, а на одно изделие II вида—3 кг меди и 2 кг алюминия. От реализации одного изделия I вида участку начисляется прибыль 2 руб., а от реализации одного изделия II вида—3 руб. Сколько изделий каждого вида должен выпускать участок, чтобы получить наибольшую сумму прибыли, если на участке имеется 45 кг меди и 16 кг алюминия?

= 4jc₁ + 3x₂ при условиях

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

Решите уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

I вариант

II вариант

3. х³ — 2х² — 5х+6 = 0.

4. 5jc² —24jc-I- 16^0.

3. х^ъ — 2х² — jc+2 = 0.

4. Зх²— 13л;—10^0.

5)