23. Найдите координаты центра тяжести треугольной пластинки, ограниченной прямыми у—х, у = 4 и осью Оу, если плотность распределения массы в каждой точке пластинки численно равна абсциссе этой точки.

24. Найдите координаты центра тяжести треугольной пластинки,

ограниченной прямыми у=^х, у = 6— ^х и осью Оу. Плотность в

каждой точке этой пластинки численно равна абсциссе этой точки. Найдите координаты центра тяжести при условии, что пластинка является однородной (8=1).

23. Вычислите координаты центра тяжести пластинки, ограни­ченной прямыми у — х, х= 1 и осью Ох, если плотность распределе­ния массы в каждой точке пластинки равна квадрату ее расстояния от начала координат.

24. Вычислите координаты центра тяжести сектора однородного круга (8=1), расположенного симметрично относительно оси Ох. Радиус круга равен 6, а центральный угол равен п/2.

§ 11. Вычисление моментов инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Моменты инерции материальной плоской фигуры D, распределение массы которой характеризуется плотностью 5=5 (х, у), вычисляются по формулам:

(29.26)

I_x=tty²b(x,y)dxdy

D

(момент инерции относительно оси Ох);

D

(момент инерции относительно оси Оу);

1о=$И^х2+У²)Ь(х, у) dx dy

D

(момент инерции относительно начала координат).

(29.29)

Величина /₀ называется полярным моментом инерции и может быть выражена равенством

Л) = ^х + /_Г

Если плоская фигура D является однородной и симметричной относи­тельно оси абсцисс (ординат), то момент инерции 1_Х(1_У) равен удвоенному моменту инерции относительно оси Ох (оси Оу) половины этой фигуры, расположенной по одну сторону от оси абсцисс (ординат).

23. Найти моменты инерции 1_Х, 1_У и /₀ пластинки, ограниченной параболой у=х² и прямой у = х, если плотность в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

О Парабола и прямая пересекаются в точке М (1; 1); значит, область D определяется системой неравенств O^x^l, х²^у^х. Используя формулы

(29.26), (29.27) и (29.29), получим

1

1 X

I_x=^y²ydxdy=^dx^y³dy=^\y*Y_xldx=^X-^{x*-x^s)dx=^(pn*y,

D 0 х2 О О

1x1 1

1

D 0 jc* о О

(ед⁴). •

23. Найти момент инерции однородного квадрата со стороной, равной 3, относительно одной из его вершин.

О Совместим одну из вершин квадрата с началом координат, а координатные оси Ох и Оу направим по двум его сторонам, исходящим из этой вершины. Область D определяется системой неравенств 0^x0, О^у^З.

Искомый момент инерции найдем по формуле (29.28) при 6=1:

= 54 (ед.⁴) ф

23. Вычислите моменты инерции /_х, 1_У и /₀ однородной пластинки (8=1), ограниченной заданными линиями: 1) х—2, у=3, х=0, у=0; 2) у = х₉ х=4, у=0; 3) у=х², у= 1, х=0; 4) у = cosx, О^х^п/2.

24. Вычислите моменты инерции 1_Х9 1_У и /₀ пластинки, ограничен­ной параболой у=х²/4, осью Ох и прямой х=2, если плотность в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

23. Вычислите моменты инерции 1_Х, 1_у и /₀ квадратной пластин­ки, ограниченной осями координат и прямыми л;=1 и у= 1, если плотность в каждой точке пластинки численно равна квадрату расстояния от начала координат до этой точки.

24. Вычислите моменты инерции /*, 1_у и /₀ пластинки, ограничен­ной параболой у=х²/2, осью Оу и прямой х=2, если плотность в каждой точке пластинки численно равна абсциссе этой точки.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА