§ 10. Координаты центра тяжести плоской фигуры

Координаты центра тяжести (.х_с; у с) плоской фигуры с непрерыв­ной массой и переменной плотностью 5 = 5 (х, >>) вычисляются по фор­мулам

fj х5 (х, y)dxdy d

(29.22)

Хс=-

Ус=~

j|5(x, y)dxdy

Цу8(х, y)dxdy

D

\\b{x,y)dxdy

или в другой форме записи

Ус =

(29.23)

где m—масса фигуры, S_y, S_x—статические моменты относительно осей координат.

yc^^ydxdy.

Если фигура D является однородной (5 = const) и S—площадь этой фигуры, то координаты центра тяжести находятся по формулам

x_c=-JJ хахау, yc^-^ydxay. (29.24)

D D

В полярной системе координат формулы (29.24) имеют вид

^хс=]; JJ^r2 cos Ф drdq>, JJr² sin ф^г^ф. (29.25)

D D

Если однородная плоская фигура имеет ось симметрии или точку симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или в этой точке.

23. Вычислить координаты центра тяжести однородной фигуры (8=1), ограниченной кривой у² — 4х и прямой х—4 (рис. 221).

О Фигура симметрична относительно оси Ох; поэтому центр тяжести лежит на оси Ох и у_с = 0. Абсциссу центра тяжести найдем по формуле

24. . Область D определяется системой неравенств 0^х^4, —2у/х^у<:

^ 2 у/~х.

ь

Площадь фигуры D найдем по формуле S=\ f (x)dx; имеем

Следовательно,

x_r=— \ [xdxdy——\ xdx Г dy=—ГГуЛ^2>/х-xdx=—\4*/xdx=2,4.

SjJ 64J J_ 64)^1П-^ 64J ^V

D 0 -2^x 0 0

Итак, центр тяжести фигуры—точка С (2,4; 0). ф

23. Найти координаты центра тяжести прямоугольного тре­угольника ОАВ, катеты которого равны 2 и 4. Плотность в каждой точке треугольника численно равна абсциссе этой точки (рис. 222).

О Гипотенуза треугольника проходит через точки (2; 0) и (0; 4); следовательно, ее уравнение имеет вид у—— 2x4-4. Область!) опреде­ляется системой неравенств 0<x<2, 2х+4; переменная плотность Ь(х, у) = х.

Для вычисления координат центра тяжести последовательно применим формулы (29.19), (29.20) и (29.23). Имеем

Тогда x_c=S_y/m= 1, y_c=S_x/m = 1 и, следовательно, C(l; 1)—центр тяжести треугольника, ф

23. Вычислить координаты центра тяжести сектора однородного круга (5=1), расположенного симметрично относительно оси Ох (рис. 223). Радиус круга равен 4, а центральный угол равен я/3.

О Перейдем к полярным координатам. Площадь кругового сектора вычислим по формуле S=-R²<p, где <р выражается в радианах, т. е. 5=-х

..я

х16 -=у (кв. ед.).

Область D в полярных координатах определяется системой неравенств —я/6<(р<я/6, 0<г<4. Так как фигура симметрична относительно оси Ох, то у_с=0. Теперь, используя формулу (29.25), находим

— я/6

D -я/6 * О

я/6

я/6

=—•64 I cos<ptf<p=-.

8 тс J ^{т Y} я

— я/6

Следовательно, С (8/тс; 0)—центр тяжести фигуры, ф

23. Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки (8=1), ограниченной линиями:

1. прямой 4л: + —12 = 0 и осями координат;

2. параболами у—х² и х=у²;

3. параболой у=х² и прямой х—у+2=0;

4. параболами у=х², у=^х² и прямыми jc=0, х=2;

5. полуволной синусоиды у = sinx (у^0),