23. Найдите массу треугольной пластинки, ограниченной прямы-

0. 1

ми у=--х+6, У⁼^^{х и осью если} плотность Ь(х₉у)

распределения массы в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

23. Найдите массу квадратной пластинки со стороной а=4, плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до одной из вершин квадрата. Коэффициент пропорциональности равен к.

24. Материальная пластинка имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 2у/2. Найдите массу пластинки, если ее плотность в каждой точке численно равна расстоянию этой точки до катета.

25. Найдите массу пластинки, ограниченной параболой у=х² и прямой у=9, если плотность 5 (х, у) распределения массы в каждой точке численно равна ординате этой точки.

26. Найдите массу круглой пластинки, если поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна квадрату ее расстояния от центра пластинки. Коэффициент пропорциональности равен к. (Для вычисления интеграла воспользуйтесь полярными координатами.)

27. Найдите массу кругового кольца, радиусы которого Ri = 2 и /?₂ = 6, а поверхностная плотность в каждой точке кольца обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца. Коэффициент пропорциональности равен к. (Для вычисления интег­рала воспользуйтесь полярными координатами.)

§ 9. Вычисление статических моментов плоской фигуры

Статическим моментом материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы точки на расстояние до оси.

Статические моменты S_x и S_y плоской фигуры D с переменной плотностью 5 (х, у) относительно координатных осей Ох и Оу вычисляются по формулам

S_x=JJ yb (х, у) dx dy, S_y=JJ x 8 (x, y) dx dy. (29.20)

D D

Если фигура D является однородной (плотность 5 постоянна), то

S_x=btfydxdy, S_y = b\\xdxdy. (29.21)

D D

23. Найти статические моменты относительно координатных осей фигуры, ограниченной параболой у²=х (у^О) и прямой х=4, если плотность 8 распределения массы в каждой точке равна абсциссе этой точки.

О Согласно условию, 8=х. Область D определяется системой нера­венств 0<х<4, О^у^у/х. Используя формулы (29.20), получим

S_x=^dx Jydy=-j[y²lQ^Xdx=- xdx=4 (куб. ед).;

23. Найти статический момент пластинки в форме полукруга х²+y² = R² относительно диаметра, если ее плотность 5=1.

О Согласно формуле (29.20), статический момент относительно оси Ох есть S_x—tfydxdy. Перейдем к полярным координатам; тогда R=r и у =

D_

= y/R² — x² -=у/R² — г² cos² ф =rsin ф.

В силу симметрии области D относительно оси Оу возьмем 1/2 этой области, которая определяется системой неравенств 0<ф<тс/2, Следовательно,

я/2 R я/2

S_x=2 j*J^rsin ф-rdrdq> = 2 j* sinфdq> Jr²<ir=^ J [r³]* sin ф</ф =

D 0 0 0

я/2

^2R3 f . , ^2R3 Г 1 ,2 2R³ , r

=— sin ф dip = - — [cos ф^^/2 =— (куб. ед.). * о

23. Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу однородных пластинок (5=1), имеющих формы:

1. прямоугольника 0<лс^4, 0<^<6;

2. Треугольника с вершинами о (0; 0), а (6; 0), в (0; 8);

3. полукруга x²+j;² = 16, у^0;

х² у²

4. эллипса — + —= 1, ограниченного положительными полуося­ми Ох и Оу;

5. параболы у=х², х^0, у=4.

23. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами ОА = 3, ОВ—4, причем ее плотность в любой точке пластинки равна расстоянию этой точки от катета О А. Вычислите статические моменты пластинки относительно катетов О А и ОВ.

24. Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу пластинки, ограниченной прямыми х—3у = 0, 2х+3у—18 = 0 и осью Оу, если плотность в любой точке пластинки равна ординате этой точки.