23. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверх­ностями:

1. z = 6, у=х², у=4, х=0, z=0;

2. z = 3 — x—y, х=0, у = х² + \, у = 2, z = 0;

3. z—4—х² —у², х= ±2, у=±2, z = 0;

4. z = 4x+1, у=х²₉ х=0, у = 4, z = 0;

5. z = 4 —х², х+>> —4 = 0, х=0, jf = 0, z = 0;

6. z = 2—x, j;² = 9x, >>=3x², z = 0;

7. z=x²+}'², x+>> = 2, x = 0, y=0, z=0;

8. z=x²+y², x=0, x=3, 7 = 0, 7 = 2, z=0.

23. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхно­стями (для вычисления интегралов используйте полярные коорди­наты):

1. z—16 —(х²+у²), z = 0;

2. z = _n/x²+t², х²+>>² = 9, z = 0;

3. z = x²+y², x²+j>² = 4, y=x₉ y — у/Зх, z = 0; дуга окружности x²+j>² = 4 лежит в I квадранте;

4. z = 6 — х²— у², x²-hy² = 4, z = 0;

5. z = x²+y²₉ x²-h7² + z²=12, z=0;

6. z=12 —x²—7², z = 3.

§ 7. Вычисление площади поверхности

Если поверхность задана уравнением z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (2=0), то площадь S поверхности вычисляется по формуле

^s* Я D⁵**- ^<29-^,б)

D (хОу)

Если поверхность проектируется на плоскость yOz (х=0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной х и формула примет вид

^s= II ^>жщ

D iyOz)

Если поверхность проектируется на плоскость хОу(у=0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной у и формула примет вид

^s‘ II^(29,8>

D(xOz)

23. Вычислить площадь треугольника, образованного при пересе­чении плоскости x+3y + 2z=6 с координатными плоскостями.

О Найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной пло­скостью:

х у z _л

6. ⁺ 2⁺3⁼¹’

х=6, у—2, z—3 (рис. 217).

Чтобы воспользоваться фор­мулой (29.16), решим уравнение данной плоскости относительно переменной z и найдем частные

1 ^{1 3} производные: z=3--x—-y,

dz 1 dz 3 dx 2’ dy 2

При z=0 имеем x+3y=6,

откуда у = 2—-x; следовательно, в плоскости z=0 область D запишется в виде системы неравенств О^х^б, Тогда

⁵⁼ Я >/¹⁺(4У⁺Н) ^dxdy=\^dx {

D (хОу) о О О

6

^x^rfx=3_N/l4 (кв. ед.). •

О

23. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х²+у² = 16, заключенной между плоскостями z = 0, z = 4x, у=0.

О Искомая поверхность лежит в I октанте (рис. 218). Проекция поверхности на плоскость xOz (у=0) есть прямоугольный треугольник, в котором ОЛ=х=4 и уравнение гипотенузы О В имеет вид z=4x. Следова­тельно, область D в плоскости xOz определяется системой неравенств 0<;с<4, 0<z<4a:.

Поскольку заданная поверхность спроектирована на плоскость xOz, для вычисления площади поверхности применим формулу (29.18). Из уравнения

цилиндра получим y = J 16—х² (у^О). Находим частные производные —=

ох

Для вычисления интеграла применим подстановку 16—x² = t и оконча­тельно получим 5=64 (кв. ед.) ф

23. Вычислить площадь части поверхности цилиндра x²+z² = 9, вырезанной цилиндром х²+у² = 9 (рис. 219).

О Искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров х²+у² = 9 и x²+z²=9. В эти уравнения поверхностей входят квадраты переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I октанте.

Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга х²+у² = 9, заключенного между положительными полуосями Ох и Оу, и определяется системой неравенств О^х^З, O^j^^/9—х².

Из уравнения x²+z² = 9 имеем z=у/9—х². Далее, находим частные

dz х dz

производные — = , —=0, откуда

dx у/9-х² dy

Следовательно.

з у/9-х¹ з 3

⁵'²1^л 1 ^=?‘^,''*²⁴1[^=?]Г^гг-²⁴1^л-^72<"'^еа|'*

0 о о