9 Область d запишем в виде системы неравенств

\у=х+6, М(3; 9), N(-2; 4). ^Р

—2ис^3, х²^у^х+6. Согласно формуле (29.13), получим

х+6 3 3

5= j* dx J dy= J* \yYj^6<lx= J (x+6-x²)dx=

⁼[у^+6х“т].₂⁼²⁰^^{(кв ед)}- •

23. Вычислить площадь области Д заданной неравенствами я/4<ср<я/3, 2<г<4 (рис. 214).

О Используя формулу (29.14), находим

я/3 4

tfrdrd(f>= |*</<р|г</г=

я/4 2

я/3 я/3

| [^г2]5^<*Р=⁶ |<*Р=6[<р]^4=^(кв. ед.;

я/4 я/4

23. Вычислить в полярных коорди­натах площадь области D, ограничен­ной окружностью х²-\-у²—4х=0 и пря­мыми ^ = 0, у=х.

О Найдем точки пересечения окружности и прямой:

(х²+у

(/=■*>

Для построения окружности преобразуем ее уравнение: х² —4x4- 4- 4+у²=4, (х—2)²+у²=4, откуда следует, что центр окружности есть точка О_х (2; 0), a Я = 2.

Для вычисления искомой площади в полярных координатах находим г и ф. Учитывая, что х=г совф и у=г втф, запишем данное уравнение х² 4- у²—4х=0 в полярных координатах: г²cos²ф4-г²sin²ф—4rcosф=0. Упро­стив его, получим г² (cos²<p + sin²(p)—4rcos(p=0, г²—4гсовф = 0, r_t=0, г₂ = =4со8ф. Теперь находим угол ф: tg ф =_у/л:=2/2 = 1, ф = я/4. Следовательно, область D определяется системой неравенств 0<ф<я/4, 0<г<4со8ф. Согласно формуле (29.14), находим

я/4 4 cos ф я/4 я/4

я/4

D

ООО О

я/4

1 +cos 2ф

о

я/4

о

2

23. Вычислите площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область D ограничена линиями:

1. у=%/х, у=-х+9; 2)у=4/х, у=х, у=4;

jv=sin л:, j=cosjc, х=0; 4).y=cosx, х=0, 1;

4. у² = 4х, у=х; 6) у=х², у = —х² + 2, л: = 0.

23. Вычислите в полярных координатах площади областей, ограниченных заданными линиями: 1) г=4, ф = л/6, ф = 7с/3; 2) r= 1, г=2, ф = я/6, ф = 7t/4.

24. Вычислите площадь области Д заданной в полярных координатах системой неравенств 0<ф<я/2, О^г^Зсовф.

25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной окружностями r= 1 и г=2совф (вне окружности r= 1).

§ 6. Вычисление объема тела

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x₉ у), снизу плоскостью z—0 и сбоку прямой цилиндрической поверх-

ностью, вырезающей на плоскости xOy(z=0) область D (рис. 216), вычисляется по формуле

V=\\zdxdy. (29.15)

23. Выделить объем тела, ограниченного поверхностями z=2x+l, х=0, у=4, у=х².

О Тело, ограниченное задан­ными поверхностями, представляет собой вертикальный параболичес­кий цилиндр, расположенный в I

октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z=2x+l, сбоку параболичес­ким цилиндром у=х² и плоскостями х=0 и у=4, снизу параболой у=х² и прямыми рс=0 и у=4. Найдем точки пересечения параболы у=х² и прямой у=4: ^

, Значение х=—2 не рассматриваем, так как цилиндр

{/=4, М(2; 4).

расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0<х<2, х²^у^4.

Согласно формуле (29.15), получим

4 2

V= Jdx j*(2x+ l)dy=j[2xy+y]⁴₂dx=

d о x^{2 0}

2

=j*(8x+4—2x³—x²)dx=13^(Ky6. ед.) • о

23. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 3—x—y, х²+у²= 1 и z=0.

О Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью z—3—х—у, а снизу—кругом jc² = 1 в плоскости z=0. Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств

-l^x^l, -у/\-х²^у^у/\-х².

Согласно формуле (29.15), получим

j у/1 — х _t

V=Qzdxdy=^dx J (3—х—y)dy= J j^3x—xy—yj dx=

yj 1 x²

П-Xi

I

1

= I (бл/l — x² — 2x yj 1 —x²)dx.

J>

Первый интеграл вычисляется по формуле

у _х

0. — x²dx=-arcsin x+-y/l — х²,

23. Вычислить объем шара радиуса R.

см. гл. И, пример 80(2). Второй интеграл вычисляется подстановкой

О Из уравнения сферы x²+y²+z² = R² находим z=^/R² — (х²+у²). В

силу симметрии сферы относительно начала координат вычислим 1 /8 объема шара, расположенную в I октанте. Проекция части сферы, принадлежащей I октанту, на плоскость хОу есть 1/4 часть круга х² +y² = R², ограниченная осями Ох и Оу.

Для упрощения вычислений интеграла перейдем к полярным координа­там. Так как x=rcoscp, >>=rsin(p, то x²+y² = r², r=R. Полярный угол изменяется от 0 до тс/2. Область D в полярных координатах запишем в виде системы неравенств 0<ф^я/2, О^г^Л.

я/2 R

R² — r²rdr.

D

D

О о

Вычислим внутренний интеграл, применяя подстановку R² — r² = u;

отсюда—2rdr=du, rdr=--du, u_H = R², и_в=0, т. е.

R

о

Согласно формуле (29.15), получим

о

Вычислим внешний интеграл:

о

1. 4

Значит, F=8 -nR³=-nR³. # 6 3

23. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=9 — x² —у², х² + у² — 2у = 0, z=0.

О Данное тело есть вертикальный цилиндр, ограниченный сверху параболоидом z=9 —х²—у², сбоку цилиндром x²-hy²—2у=0, снизу кругом х² + у²—2у=0. Так как область интегрирования является кругом, а подын­тегральная функция зависит от х² +у², то перейдем к полярным координа­там. Уравнение окружности примет вид r²cos²9 + r² sin²9 — 2rsin9=0 или т²—2т sin ф = 0, откуда ^=0, r₂ = 2sin9. Полярный угол ф изменяется от 0 до п. Область D запишется в виде системы неравенств О^ф^тг, 0^г^2sinф, а подынтегральная функция примет вид z=9—(х²+>>²)=9—г². Используя формулу (29.15), получим

V=jjzdxdy=jj(9-r²)rdrdq>=jdq> J (9r-r³)<fr=|j^-^S'”’rf(p =

D D 0 0 0

=|[18sin²9-4sin⁴<p]</<p=|^18^{1 c}°^s2?_₄^^] ^^s2(p^ ^dq> =

0 0 я

= J[9“ 9^c°s2cp —1 + 2cos 2ф—сов²2ф]^ф =

я

=jj^8 - 7 cos 2cp - *^{+ C}°^{S 4<P} j cftp = 7,5 (куб.ед.). • о