§ 4. Двойной интеграл в полярных координатах

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х и у к полярным г и ф (см. гл. 14, § 1) выполняется по формуле

>/) =JJy(r e°s Ф, r sin tp)r dr d<p, (29.10)

D D

где x=rcosq>, y—rsinф, rdrdq> = dS—дифференциал площади.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению повторного интеграла по г и ф в заданной области D.

Если область D (рис. 208) ограничена лучами, образующими с полярной ОСЬЮ углы ф! И ф₂, И кривыми Г = гДф) И Г = Г₂ (ф) (где Ф1<Ф₂, г₁<г₂), то двойной интеграл вычисляется^по формуле

ИЛ*> y)dxdy= J d(p J f(r cos ф, r sin ф) r dr. (29.11)

D 9l ^(ф)

Если область D ограничена линией r=r (ф) и начало координат лежит внутри области D (рис. 209), то

(29.12)

ИЛ*> y)^dxdy⁼$²o^nd(?\о^Ф> Л^г cos ф, г sin ф) г dr.

23. Вычислить двойной интеграл jjrsincprfrtftp, если область

D

D—круговой сектор, ограниченный линиями г=а, ф = тс/2 и ф = я.

Рис. 211

О Построим сектор ОАВ с центром в полюсе О (рис. 210). Имеем повторный интеграл

я а

jjrsin<pdr*/<p= J Jrsin<prfr.

D я/2 0

Вычислим внутренний интеграл, считая sincp постоянным:

Г • л Г^г2 • Т *² •

Вычислим внешний интеграл:

а² 2

Jrsincpdr= ysm<p =—вшф.

а² С а²_г а² а²

• sin9^=-_T[cos9]'₂=-—(-1-0)=—. •

я/2

23. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной интеграл Я (^x+y)dxdy, если область D ограничена

D

линиями х²+у²=1, х²+у² = 4₉ у^О.

О Построим область D (рис. 211). Применив формулы перехода к полярным координатам, получим x=r coscp, >>=г sin ср; тогда

JJ (x+y)dxdy=\]{r cos ф+z sin ф) г dr dtp.

D D

Область D в полярной системе координат запишем в виде системы неравенств О^ф^тг, 1^г<2. Поэтому

я, 2

JJ (x+y)dxdy=\dy\ г² (cos ф + sin ф) dr.

D о 1

Вычислим внутренний интеграл, считая совф + втф постоянным:

2

J г² (cos ф 4- sin ф) dr=(cos ф + sin ф) J = (cos ф + sin ф)0—^^ (cos ф + sin ф).

Вычислим внешний интеграл:

23. Преобразовать к полярным коорди- натам и вычислить двойной интеграл

Тх

Рис. 212

Я ->/x²+y²dxdy, если область D ограничена

D

частью окружности х²+у² = \6, х^О, у>0.

О Построим область D (рис. 212). Полагая x=rcoscp, y=rsin<p, получим

у/х² +у²=у/г² cos²<p + г² sin²<p =

=у/г² (cos² ф + sin² ф)=г.

Область D в полярных координатах определяется системой неравенств 0<ф<71/2, О^г^ф. Согласно формуле (29.11), находим

23. Вычислите двойные интегралы:

1. \\r²dydr, D—область, ограниченная окружностями г=1 и

D

г=3;

2. Jjr³flfcpdr, область D задана системой неравенств я/4^ф<я/3,

D

2<г<4;

3. {j sin 2фй?ф dr, область D задана системой неравенств

D

я/6<ф<я/2, 1<г<3.

23. 1)

    Вычислите двойные интегралы, предварительно преобразовав их к полярным координатам:

круговое кольцо между окружностями х +

+у² = 1 и х²+у² = 9; dxdy

Я

2)

, D—область, ограниченная окружностью х* +

х²+у² + \

dxdy, D—область, ограниченная окруж-

IP²⁵-*’--¹

D

ностью х²+у²^\6.

§ 5. Вычисление площади плоской фигуры

Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисля­ется по формуле

(29.13)

(29.14)

S=\$dxdy,

D

а в полярных координатах—по формуле

S=\\rdrdq>.

D

23. Вычислить площадь области, ограниченной линиями у=х² и у=х+6.

О Найдем точки пересечения данных линий (рис. 213): \у⁼х²,