12 12 Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:

х² + 4 х² + 4

| = | ^ = ^№²⁺⁴ = ^(*² + ⁴-²Н+²*'²-

2 2

Теперь вычислим внешний интеграл по переменной х, подставив в него полученное выражение:

з _ _

1

(x-\-y)dxdy по области D,

|(1+2лГ^=[*-^Дз-?)-(1-2)=3;

17. Вычислить двойной интеграл

ограниченной прямыми х=2, х = 6, у— 1 и у = 4. 442

О Область D является простой отно­сительно осей Ох и Оу (рис. 203), поэтому у =4 для вычисления интеграла можно исполь­зовать любую из формул (29.5) или (29.6).

Сначала вычислим двойной интеграл по формуле (29.5):

6 4

0\ x=2

Рис. 203

^(x+y)dxdy =^dx j*(x+y)dy.

D 2 1

Вычислив внутренний интеграл по переменной у при постоянном х, находим

|(jc+y)<fy=^+^-J =(4х+8)-^хН^ = Зх+у.

1

Подставив это выражение во внешний интеграл, получим 6

{(^Здс+т)^⁼[х⁺т"1⁼₇₈-

2

Теперь вычислим двойной интеграл по формуле (29.6):

Я (.^x+y)dxdy=[dy\(дс+^) dx.

D 12

Найдем внутренний интеграл:

J*(jc+^)<fcc=|^y+jc>'J =(18+67)—(2+2у)=4у+16.

2

Далее найдем внешний интеграл:

1. (4у +16) dy=[2у² +167] ^=78,

1

т. е. получили тот же ответ, ф

17. Вычислить двойной интеграл jj (х² —y)dxdy по облас-

D

ти D, заданной системой неравенств 0<х^3; (рис. 204).

О Область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу; поэтому вычислим этот интеграл двумя способами. Произведем вычисление по формуле (29.7). Пределами внутреннего интегра­ла являются функции у=х² и у=9, составляющие уравнения нижней и верхней границ области D, а пределами внешнего интеграла являются абсциссы jc=0 и х=3. Значит,

tf(x²-y)dxdy=]dx](x²-y)dy

D ⁰ X²

Вычислим внутренний интеграл по переменной у в предположении, что х—постоянная:

\^{x‘-^y)dy-[^x‘^yJl\-

Рис. 204

*2

/ 81\ / _A 1 81 =( 9x²—— J—I x⁴—— J = 9x²—-x⁴——.

Вычислим внешний интеграл:

=-64,8.

Произведем теперь вычисление по формуле (29.8). В этом случае область D выражается системой неравенств 0<^^9, 0 ^ л: ^^/у, т. е. пределами внут­реннего интеграла служат функции х=0 и х=у/у, а пределами внешнего интеграла—ординаты у=0 и у=9. Поэтому

17. Вычислить двойной интеграл JJ-rfjcrfv по области D,

D

заданной линиями х=1, х=4, у=х и у = 2у/х.

О Находим точки пересечения этих линий:

Г*=1; Гх=4,

ij>=2<_s/x, М(\\2)\Ху=2у/х, N( 4;-

; 4) (рис. 205).

Область D определяется системой неравенств К* <4, Вычислим двойной интеграл по области D:

4 2 VЗс 4 _ 4

17. Вычислить двойной интеграл jj (x+2y)dxdy по области D,

D

А ⁴

ограниченной линиями у=х, у=4х и у=~.

О Находим точки пересечения этих линий:

у=х,

у=~, М(2; 2); 1 у=-, N( 1; 4) (рис. 206).

Область D разобьем на две области D₁ и D₂, которые соответственно определяются системами неравенств 0<х<1, х^у^4х и 1 ^х^2, х^у^4/х. Вычислим двойной интеграл по области D_t:

4х 1

I₁=^(x + 2y)dxdy = ^dx^(x + 2y)dy = ^\xy+y²Y_x^xdx=

1. х² dx= 18 ■-

   = 6.

   1 = J*(4x² + 16 x²—x²—x²)dx= 18

\у=-х² + 2, М(\;\).

Область D является простой относи­тельно оси Ох. Рассмотрим область D относительно оси Оу. Через точку Af(l; 1), в которой стыкуются участки верхней ^ границы области D, проведем прямую,

r-l

у=f

y=-X +2(x-^}f2-y) параллельную оси Ох. Эта прямая делит область D на две области и D₂, М(4*л которые запишем в виде систем неравенств

' ¹ ' О^х^у и \^у^2; О^х^у/2-y.

Тогда, согласно формуле (29.8), получим

6) \\x*dxdy, л: = 0, у=х, у = 6—х².

D

23. Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями, предварительно разбив заданную область на две области:

1. \\xdxdy, у=х², у=2х, у=Зх; 2) \\(x+y)dxdy, у=~, у=х, у=4;

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

2. 1. Вычислите повторный интег-

   3 2

   рал \dx \(x²+2xy)dy. о о

   2. Вычислите двойной интеграл

   вариант

1. Вычислите повторный ин-

2 у²

теграл J dy { (2x+y)dx.

-2 О

2. Вычислите двойной интеграл

JJ ху dx dy, где D—область, ограни- JJ ^jdxdy, где D—область, огра-

D d У

ченная параболами у=х² и х=у². ниченная линиями у=\/х, у=х

3) Измените порядок интегри- и х—4.

3. рования в двойном интеграле fdx \f(x, y)dy.

   Измените порядок интегриро­вания в двойном интеграле

- - ²

2. з^ + з

fdy J /(•*> у) dx.

1. 1

у