2. Основные свойства двойного интеграла. 1°. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегра­лов от слагаемых функций:

JJ[/i (*’ y)±fi (*» Д] dxdy=j*JVi (*> y)dxdy± (x, y) dx dy.

3. Основные случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах.

1. Если область D, в которой рассматривается двойной интеграл (29.4), есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями х—а, x=b (a^x^b), у=с, y=d (c^y^d) (рис. 198), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул

Ъ d

jjf{x, y)dxdy=^dx j/(x, .у) dy (29.5)

D a с

ИЛИ

d b

{{/, y) dxdy=jdy j/(jc, y) dx. (29.6)

D с a

Интегралы в правых частях формул (29.5) и (29.6) называются

d b

повторными (или двукратными), а интегралы и ,y)dy и j/(x, у) dx

называются внутренними.

в форму-

Рис. 198

ь d

Под символом

J*<£xjV(x, y)dy

ле (29.5) подразумевается дважды произведе­нное интегрирование. Первое интегрирова­ние (внутреннее) по переменной у совершает­ся в пределах от с до d в предположении, что я: остается постоянным; результат интег­рируется по переменной х в пределах от а до Ь.

Если вычисление двойного интеграла выполняется по формуле (29.6), то порядок интегрирования меняется; внутренний интеграл вычисляется по переменной х, причем у сохраняет постоянное значение, а внешнее (повторное) интегрирование производится по переменной у.

2. Если область D такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области и параллельная оси Оу, пересекает ее границу в двух точках (рис. 199 и 200), то эта область называется простой относительно оси Ох и определяется системой неравенств вида

а^х^Ь, ф!(х)<^<ф₂(х).

В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле

ъ ф₂ <*)

jj/(x, y)dxdy=jdx j” f(x, y)dy. (29.7)

D a *1 <*>

3. Если граница области D пересекается в двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области и параллельной оси Ох (рис. 201), то эта область называется простой относительно оси Оу и определяется системой неравенств вида

c^y^d, ФхО'Цх^ФгМ-

В этом случае двойной интеграл выражается формулой

d 9₂ (у)

JJf{x,y)dxdy=^dy J /(х, у) dx, (29.8)

D с *, о>>

где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем по переменной у.

X

Рис. 202

4. 

   Рис. 201

   Если нижняя или верхняя линии границы состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси Оу, на такие части, чтобы каждый из участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных интегралов.

В случае, изображенном на рис. 202, область D_l определяется системой неравенств а^х^с, cpi(x)<j><cp₂(х), а область Z>₂—системой неравенств с^х^Ь, q>i{x)^y^q>₃(x), и, значит,

С Ч>2 (*) ь Ч»з (X)

\^fdxdy=Qfdxdy+ \^fdxdy = ^dx Jfdy+\^dx J fdy. (29.9)

_D D_l D₂ а _Ф1 (x) с (x)

2. 16. Вычислить повторный интеграл О Согласно формуле (29.7), имеем

   3 х² + 4 '2 х² +4

   x² + 4 j* j >•