21. Разложите в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока (рис. 194).

Глава 29 двойные интегралы

§ 1. Функции нескольких переменных

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.

Функции двух переменных обозначают символами z=f(x, у), z=F(x, д>), z=z(x, у) и т.п.

Значение функции z=f(x, у) при х=а и у=Ь обозначают через f(a, b).

Упорядоченная пара значений х и у называется точкой М(х;у), а функция двух переменных — функцией этой точки z=f(M).

Переменная величина и называется функцией трех переменных величин х, у, z, если каждой упорядоченной тройке значений х, у, z соответствует единственное значение и.

Аналогично определяется функция п переменных.

Множество всех точек, в которых определена функция п переменных, называется областью определения (существования) функции.

Некоторую замкнутую область D на плоскости, ограниченную данными линиями, можно задать с помощью одной или нескольких систем неравенств вида

a^x^b, /i(x)<^</₂(x). (29.1)

1. Найти область определения функции z= у/9—x—y².

О Данная функция определена, если 9—х²— у²^0, т. е. х²+у²^9. Этому соотношению удовлетворяют координаты всех точек, которые находятся внутри круга радиу­са R = 3 с центром в начале координат, а также на его границе. Областью определе­ния данной функции и являет­ся указанный круг, ф _

2. Найти область опре- ^ деления функции z=_v/5x— -А

3

У?у?у^

Ч sx / ~шГ

Ч 36 / 2%

ЧУ

О Первое слагаемое определено при х^О, второе—при ^>0. Следова­тельно, область определения есть I четверть плоскости хОу. %

3. Дана функция f(x, у)=^+у^+₂' ^{Вычислить} А°> °)> А¹’ *)> /(2, 1).

3’

,_{/л лЧ} 2 0-0+1 1 . 21-1 + 1 1 ° ^/(°’ ⁰⁾⁼З^То^=2^; Л¹’ О-зПГЙЩ-

2-2—1 + 1 3 • 2² +1² + 2⁼

_4

15"

/(2, 1)=

3. Найти область D, представляющую собой множество точек круга с центром в точке (—3; 2) и радиусом 6.

О Заданная область изображена на рис. 195. Абсциссы точек кру­га изменяются в промежутке —9^х^3. Уравнение заданной окруж­ности (х+3)²+(у—2)² = 36 представим в виде {у—2)² = 36—(х+3)² или у=2± у/21—вх—х¹. Уравнение у=2— у/21—6х—х² задает нижнюн£>, а уравнение у=2 + у/21 — 6х—х² — верхнюю полуокружность.

При изменении х в промежутке —9^х^3 функция у изменяется от —2— J 21 — 6х—х² до 2+ у/21—6х—х². Следовательно, множе­ство точек круга определяется системой неравенств — 9<х<3,

2. — у/21 — 6х—х² ^у ^2 +у/21 — 6х—х². #

3. Область D задана параллелограммом со сторонами у=х—3, у = х+1, у=— Здг+13 и у = —Зх+29. Записать с помощью систем неравенств вида (29.1) множество точек заданной области.

О Найдем точки пересечения заданных прямых и построим параллело­грамм (рис. 196):

{Г-^-, £Гз I***

Через вершины А, Е и С проведем пря­мые, параллельные оси Оу. Область Z), огра­ниченную заданным параллелограммом, раз­делим этими прямыми на три области D_u D₂ и D₃. Каждую из этих областей представим системой неравенств вида (29.1).

В области Z>j х изменяется в промежутке 3<х<4. Эта область ограничена снизу пря­мой у= —Зх+13, а сверху—прямой у=х+1, т. е. — Зх 4-13 < у < х 4-1. Следовательно, мно­жество точек области D_l можно записать в виде системы неравенств 3<х<4,

-3x4- 13<>><х+1.

В области D₂ х изменяется в промежутке 4^х^7. Эта область ограничена снизу прямой у=х—3, а сверху—прямой у=х+1. Поэтому множество точек области D₂ выражается системой неравенств 4<х<7, х—3^у^х+\.

В области Z>₃ х изменяется в промежутке 7^х<8. Эта область ограничена снизу прямой у=х—3, а сверху—прямой у= — Зх+29. Значит, множество точек области D₃ записывается в виде системы неравенств 7<х<8, х—3<_у< — Зх+29. ф

3. \У² = 4х,

   Ь = 2х²;0(О;О)иМ(1;2).

   Область D заключена между двумя параболами у² = 4х и х²=-у. Записать с помощью системы неравенств вида (29.1) множество точек этой области.

О Найдем точки пересечения парабол. Имеем

Из рис. 197 видно, что область D можно записать с помощью системы неравенств 0<х<1, 2х²^у^2у/х. ф

3. Найдите область определения функции:

1. z= Jx²+y²-4+ ^16-х²-у²; 2) z=J^+~ 1;

3) z = - -¹ - .

^/x²+y²-4

3. Найдите частное значение функции:

О f(x, У)=_2х1^Х+_у2 в точке (2; -1);

2. f(x, у)= ^2Х^^У в точке (3; -4).

s/x²+y²

3. Запишите с помощью систем неравенств вида (29.1) замкнутые области Z), заданные следующим образом?

1. у = х, у = х+6, у= — 0,5х+3 и у=— 0,5x4-9;

2. У=х, у=х+4, у=-х + 4 и у=-х+12;

3. х^О, у^0, x²-hy²^9;

4. у=3х и у=х²;

5. у² = 4х и х=4;

6. ху= 1, х=4 и .у=х.