§5. Разложение в ряд фурье функции, заданной в произвольном промежутке

Если функция /(х) в промежутке —/<х</, где /—произвольное число (/>0), удовлетворяет условиям Дирихле, то ее разложение в ряд Фурье имеет вид

0. flKX

   /

„ , _v On / ГИЬЛ . I

f{x)=—+ I I я„ cos —+&„ sin — j

где

-I

I

(28.16)

(28.17)

«„=1 j/(*)cos ^j-dx,

-I

I

0. Г _w v . nnx K=-_{ /Wsin — dx.

Ряд (28.14) представляет собой функцию с периодом 2/, т. е. f(x+2l)=

=/(4 ,

Если f(x)—нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только синусы:

/(*)= Е Ь.яп—,

п=1 ¹

I

2 Г, _ч . ппх , 6„=-у \f(x)sm — dx.

(28.18)

где

(28.19)

Если же f(x)—четная функция, то ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы:

/М=-7+ Е «.cos —

^Z n= 1 ¹

I

a₀=~_l^f(x)dx,

0

I

2 f . лях /(x)cos — </*.

(28.20)

где,

(28.21)

(28.22)

10. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке

• Kx^l уравнением /(х)=х².

О Данная функция является четной. Графиком функции служит дуга параболы, заключенная между точками (—1; 1) и (1; 1) (рис. 189). Здесь /=1. Поэтому, используя формулы (28.21) и (28.22), имеем

3 X

-3 -2

^fl» ⁼ y /(*)^{cos —}—ax = 2 \x²cosnKxdx.

Интегрируем по частям: u=x², dv=cos nnxdx, du=2xdx, u=—sinwuc;

пк

я =—jc sin nnx

тогда

= r ² «

^{1 4} f • ^ ⁴ f • ^

xsmnnxdx= xsmnnxdx.

о nnj пк]

Снова интегрируем по частям: и=х, dv = sin пкх, du = dx, v=—— cos пкх,

пк

откуда

1. i xsinnKxdx= xcos пкх H cos пкх dx=

,1 4 / cos2toc cos3toc \

* ...j.

10. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = x₉ заданную в промежутке — 2 < х < 2.

11. Разложите в ряд Фурье функцию /(*) = |х|, заданную в промежутке — 1 /2 < х < 1 /2.

12. Разложите в ряд Фурье только по синусам функцию /(*)=х², заданную в промежутке 0<jc<1/2.

13. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = x²/2, заданную в промежутке — 3 < jc < 3.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

/(•

1. Разложите в ряд Фурье перио­дическую функцию с периодом 2я, заданную в промежутке —я^х^я формулами

при — я<х<0, при 0^х<я.

А*)

2. Разложите в ряд Фурье по си­нусам функцию /(х)=х, заданную в промежутке О^х^я.

1. Разложите в ряд Фурье перио­дическую функции^ с периодом 2я, заданную в промежутке — я^х^я формулами

(2 при -я<х<0,

(О при 0<х^я.

2. Разложите в ряд Фурье по ко­синусам функцию /(х)=х, заданную в промежутке О^х^я.

§6. Разложение в ряды фурье некоторых функций, часто встречающихся в электротехнике

При изучении различных зависимостей в электрических цепях с несинусоидальными токами применяют ряды Фурье. Переменный синусои­дальный ток i=I sin ш имеет период 2я/ю. Несинусоидальный ток разлагают в ряд Фурье вида

i(t)=^-+a₁cos<ot + b₁ sin со/+я₂ ^cos2ш+b₂ sin 2ш+

+ ... + tf_ncos/iGOf+&_nsinrtCD/+... . (28.23)

Формулы для нахождения коэффициентов ряда (28.23) получаются из формул (28.11) — (28.13) с помощью замены переменной х=ш и имеют вид:

2л/о>

(28.24)

cos n&tdt,

(28.25)

--i}^л

О

2п/са

а„=^ | /И

о

2я/ш

(28.26)

/(со/) sin n(otdt.

10. ./ч f Л sir

    Разложить в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока: [sinoof при 0<*<я/(о, [smart при n/(n^t^2n/(o (рис. 190).

О Данная функция является четной, поэтому Ь_п=0. По формулам (28.24) и (28.25) находим

о

-А

\ /

Рис. 190

-А

Рис. 191

я„=— I A sin со/ cos пт dt=^^- I [sin (со/—«со/) Ч- sin (со/+/?со/)] Л=

К J J

о о

я/а>

Ак.о Г

Лео Г 1 / ч

= “7 -т— cos(«+l)co/ +

ТС |_ («+1)(0 ^V '

=— [sin(«+1)со/—sin (и — l)co/]flf/= о

COS (/

Пя/«> «-0^0 =

1 / 1 / 1 1 1

COS («+1)71 + 7 -Г—COS (/г— 1)я + ; -Г 7 -Г— =

^v ' ^{и v} ' '-'-l)© (w-l)(0j

(л—1)(0

_С0^Г

ТС [_ (л+ 1) СО ^v ^ ⁴ " (л— 1) СО ^W°^V * ^v#^(«+l)

А 1 / 1 / 2 1

= — -cos «41 тс4 -cos («— 1) тс—5—- =

тс L «41 «-1 «²-lJ

0. если п—нечетное; 4А

, если и—четное.

п(п²-Д)

или

->

4А/1 1 Зп \2 3

сите в р

cos 2 ш —\ cos 4шг—cos 6 <ог 15 35

18. Разложите в рад Фурье функцию А при 0</<тс/(о, -А при тс/(о</<2тс/(о (рис. 191). Асо 19. Разложите в ряд Фурье функцию i=—t (рис. 192).

2. к

20. Разложите в ряд Фурье функцию однополупериодног выпрямленного синусоидального тока (рис. 193).