§3. Ряд фурье для четной функции

Если в промежугке — я^х^я функция f(x) является четной, т. е. /(—х)=/(х), то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

«о

(28.8)

о

я

(28.9)

) cos nxdx

Ь_п = 0.

Следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам:

(28.10)

/(*)=-^+a₁cosx+tf₂cos2xH-... + a_IIcosrtx+...

В случае, когда функция /(х) определена в промежутке О^х^я, для ее разложения в ряд Фурье только но косинусам эту функцию нужно доопределить в промежутке —я^х^О так, чтобы в промежутке — я^х^я она оказалась четной.

Например, если функцию /(х)=х, где О^х^я (рис. 185, а), дополнить ее четным продолжением в промежутке —я^х^О (рис. 185,6), то полученную в промежутке — я^х^я четную функцию можно разложить в ряд только по косинусам. Вне промежутка — я^х^я функция является периодической с периодом 2я.

Итак, если функ­ция /(х) задана в про­межутке О^х^я, то в соседнем промежутке —я^х^О можно осу­ществить как ее нечет­ное, так и ее четное продолжение; следова­тельно, функцию /(х) можно разложить или

П\п

-X * о *

У¹

о

%

7

Рис. 186

только по синусам, или только по косинусам. '

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам пери- одическую функцию с пери- одом 2я, заданную в проме- жутке 0 ^ х < п следующим образом:

(х при 0<х<я/2, f(x)=<

(я/2 при я/2<х<я.

О Функция /(х) задана в промежутке О^х^я, но так как ее надо разложить только по косинусам, то в промежутке О^х^я функцию /(х) нужно

дополнить ее четным продолжением (рис. 186).

Используя формулы (28.8) и (28.9), получим

я я/2 я

а₀=- j/(x)dkt=-|^ J xdx+ J 2 ⁼

0

Вычислим второй интеграл:

я

я Г я 1 I * - I cos nxdx= sin nx

2 J 2 я

n/2

Значит,

2

1Гя я 1 я 11 =-| -sin«-+-cos«—- . п \_2 2 п 2 nj

я Г я~| я я

=— sin ля—sin л- = sin « —.

2п\_ 2J 2 п 2

Гя я1 я1 я я! 2 Г 1 я 11

1)/(*)=^²)/м=Н^{; 3) /(}-

, _ч Зя 2 [cosx cos3x cos5x ⁺—⁺—⁺

8. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию/(*) = \х\ при — (рис. 187).

9. В промежутке 0 <х< к разложите в ряд Фурье по косинусам функции:

² «-v* fi при0<х<я/2,

1/2 при я/2^х<я;

)4 /cos 2л:

4

ю²

Подставив значения а_п в формулу (28.10), получим

cos 2л: cos 6л: cos Юл;

к/3 при 0<х<п/3,

4) /(х)=^ 0 при к/3<х<2к/3, — к/3 при 2к/3<х<к.

§4. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ В ПРОМЕЖУТКЕ 0^х^2п

Если функция /(х) определена в промежутке 0^х^2тг, тр для вычисления коэффициентов Фурье справедливы следующие формулы:

2я

(28.11)

Рис. 188

в₀=^

о

2я

а_п=- J /(х) cos пх dx, (28.12)

о

2я

I sin пх dx.

b_n=^l-\f(*)si

кить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную 0<х<2л: равенством /(х) = х² (рис. 188).

(28.13)

10. Разложить промежутке

О Функция /(х)=х² в промежутке 0 ^ х ^ 2тс не является ни четной, ни нечетной.

Коэффициенты Фурье вычислим по формулам (28.11)—(28.13). Имеем

¹ f / ч ¹ Г

¹ Г

)cosnxdx=- I х² cosnx dx.

а„=- I f\x) cos nxdx=- I j

a_n=-\ -x sin их — I xsinnxdx .

lo ⁿJ J

Снова интегрируем по частям: и = х, dv = sin nx dx, du = dx, v = — cosnx;

n

тогда

2я

2„ j Л

.⁺=J

cos nxdx —

sin nxdx= — xcosnx n

—-xcosnx+ n

I²*

sin nx = " -lo

1 1 2n

= —-2n cos 2nn 4-—sin 2nn—(0 + 0)= —-2л+0 = ——. n n n n

Подставив это значение в а_п, получим

1Г1 „ ²" 2 / 2я\~| 1/1 4я\ 1 ( 4я\ 4

^ап=к\п ^{siDX _}й(“т) %(*^п2*⁺^г;(⁰⁺^г^’

К1_п ₀ п \ п / J к\п п / %\ п / п

Снова интегрируя по частям, имеем и=х, dv=cos nx dx, du=dx,

1

v=-sinnx, т. e. n

I

²" i r Г1 1 l²'

• x cos wx*/x=-xsin nx n

  I sinnxdx — \ -xsinnx+—-cosnx =

о ⁿ J L« ⁿ Jo

х² = +(4cosx—4rcsinx)+ I cos2x——sin 2x 1+1 -cos3x——sin 3x 1 + ...=

4n* ( cos2x 7isin2x cos3x rcsin3x = +41 cosx—7i sinx+——— +——— +.

— з V

⁵ -)

/(271—0) +/(2я+0)

В точке разрыва х=2я сумма ряда равна ; так как

/(271 — 0)=4я², /(2я+0) = 0, то сумма ряда при х=2п (а также во всех точках

4я² + 0

вида 2пп, где и = 0, +1, +2, ...) равна =2я . ф

10. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию, заданную в промежутке 0<х<2я:

г

х при 0<х<я/2,

1) /М ⁼ !^ ^П^^И 2) /(х)=< Л/2 при я/2<х<Зя/2,

' ^{J v} ' (х при я<х<2я; ^ w / у /

2я—х при Зя/2^х<2я (данная функция четная, поэтому рассмотрите ее в промежутке — я<х<я, а промежуток интегрирования разбейте на промежутки 0<х<я/2 и я/2<х<я); 1 при 0<х<я/2, 3) f(x)=< —1 при я/2<х<Зя/2, 1 при Зя/2<х<2я;

4) /(*)=•

х при 0<х<я/2, п — х при я/2 <х< Зя/2, х—2 я при Зя/2<х<2я.