§ 2. Ряд фурье для нечетной функции

Если в промежутке — я^х^я функция f(x) является нечетной, т. е. /(-*)=-/(*), то я_о = 0, я„ = 0>

в промежутке — к<х<п.

1C

b„=-y(x)smnxdx (w= 1, 2, 3,...). о

Следовательно, нечетная функция разлагается в ряд Фурье по синусам: f(x)=b_lsmx+b₂sin2x-\-... +b„sinnx+ .... (28.7)

В случае, когда функция /(х) определена в промежутке О^х^я, ее также можно разложить в ряд Фурье только по синусам. Для этого функцию нужно доопределить в промежутке — я^х^О так, чтобы в промежутке —я^х^я она оказалась нечетной.

Например, если функцию f(x)=x, где О^х^я (рис. 181, а), дополнить ее нечетным продолжением в промежутке — я^х^О (рис. 181,6), то получим нечетную функцию, рассматриваемую в промежутке — я<х<я, которую можно разложить в ряд Фурье только по синусам. Вне промежутка —я<х<я функция является периодической с периодом 2я.

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию / (х) = х, если

• п<х<п.

О График функции вмес­те с периодическим продол­жением на всю ось Ох изоб­ражен на рис. 182. Заданная функция удовлетворяет усло­виям Дирихле, поэтому ее можно разложить в ряд Фу­рье. В промежутке —я<х<я функция /(х)=х—нечетная,

(28.6)

в ряд Фурье только по синусам (коэффициенты при косинусах равны нулю). Коэффициенты Ь„ находим по формуле (28.6):

Г 2 Г

Ь_п=- f(x)sinnxdx=- xsinxt/x;. я J я J

Интегрируем по частям; полагая u=x, dv = sin nx dx, du = dx, v =

1

= — - cos nx, имеем n

2

я

1

—-xcos nx n

"If 1 2Г 1 1 I^я

+- coswxt/x —xcos«x+—sin/ix =

о «J J 4 « n² J₀ 0

Г 1 1 ~1 2 Г 1 "1 2 2

= - —-71 COS«71+—-sin«71 —(0 + 0) = “ —-7TCOS«7T 1= —l)"=-(—l)"⁺

Я L n n² J я|_ Л J ⁿ n

или

Г sinx sin 2д: sin3;c sin 4л:

L 1 2 ^+J 3 ~ 4 ⁺’

Это равенство имеет место в точках непрерывности функции f(x), т. е. во всех внутренних точках промежутка —п<х<п. Вне этого промежутка этот ряд изображает периодическое продолжение данной функции.

В точках разрыва +я; +3я, ... сумма ряда равна среднему арифмети­ческому ее левостороннего и правостороннего пределов в этих точках.

Предел в точке х=—п есть lim /Ы= lim х = — к; предел в точке х=к

х—► —я + О х—► - л + О

есть lim _cf(^x)= lim х=я. Найдем среднее арифметическое этих пределов:

/(—я+0)+/(я—0) -я + я

1. ” 2 “ ‘

Во всех точках разрыва получим то же значение, т. е. сумма ряда равна нулю.

Полученное разложение можно записать и в таком виде:

Tsinx sin2x sin3x ~| Сх при —я<х<я,

|_ 1 2 3 J |о при х=(2и + 1)я.

Этот ряд можно использовать для вычисления значения я/4. Пусть х=п/2; тогда

откуда следует, что

я 111

-=1—+ + ... . •

2. 3 5 7

5. /М-{ 1

   Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

1. — 1 при — жхсО, при 0<л:<я.

О В промежутке — к<х<% заданная функция—нечетная (рис. 183). Такую функцию называют ступенчатой. Ее ряд Фурье содержит только синусы.

Коэффициенты Ь_п находим по формуле (28.6):

я я

b=- \ f(x) sin nxdxI 1 sin nxdx=-( — -cosnx) tcJ n\ n J

2

= (cos ПК—cos 0)=

О ИЯ

ПК ПК

4 4 откуда b!=-, *2=0, *3=—, Ь₄=0, b₅=—

К ЗЯ jK

Подставив эти значения в формулу (28.7), получим

Л_ч 4 . 4 . 4 . 4 /sin х sin Зх sin 5jc \

x)=-sinx4-—sin3x4-—sin5x-(-...=- ——I—-—I —h... ,

я Зя 5k к \ 1 3 5 /

■-Н-:

т. e.

4/sinx sin3x sin5x \ f 1 при 0<х<я,

• r-+.

к\ 1 3 5 J [ — 1 при — я<х<0. В точках разрыва х=±я сумма ряда равна я/2, ф

Рис. 183

Точкой разрыва функ­ции является точка х=0.

На основании теоремы Ди­рихле в этой точке сумма ряда равна нулю, т. е. сред­нему арифметическому зна­чений /(—0)= — 1 и

/(+°)=^1: Рис. 184

/(-0)+/(+0) -1 + 1

6. В промежутке О^х^я разложите в ряд Фурье по синусам функции:

!)/(*)= 1(0<*<1); 2)f(x)=x; 3) f(x)=n/4; 4) f(x)=n-2x\

₅₎ пх).{* "^РИ ₆₎/(*).{* "Р"

(О при п/2К:Х^п; {я—х

при я/2^х<л;

А

• X а

7) f(x)=<

при 0<х<а, при а^х^я—а, (х—я) при я—а^х^я (рис. 184).