§ 8. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов

Если функция не интегрируется в конечном виде или ее интегрирование приводит к громоздким вычислениям, то определенный интеграл от такой функции вычисляется с помощью рядов.

В этом случае первообразную функцию сначала выражают в виде ряда, а затем вычисляют определенный интеграл с заданными пределами интегрирования. Число членов полученного ряда определяется заданной точностью вычисления.

41. Вычислить интеграл

dx с точностью до 0,000001.

О Воспользуемся разложением

sin л; х² х⁴ х⁶

~⁼¹-3!⁺Ц-^⁺-⁽-^С0<Х<С°⁾

(см. п. 10 примера 26). Проинтегрируем этот ряд почленно:

1. 1

Г sinx С( х² х⁴ х⁶ х⁸ \

J—■Hi'-rt-rt"--)*-

X X X X

^{= Х_}^⁺^^_7!^Т7⁺9Г9^_ j 1_ J 1_ 1

3!-3 ⁺ 5!-5 7!-7⁺9!-9"

Полученный ряд является знакочередующимся, поэтому погрешность вычисления не превосходит первого отброшенного члена.

1

п\

Вычислим - на микрокалькуляторе с помощью алгоритма

				1
		F		X

Так как ^—^«0,0000003 < 0,000001, то пятый член ряда меньше 0,000001.

Поэтому для приближенного вычисления интеграла с точностью до 0,000001 достаточно взять сумму первых четырех членов ряда:

I

1

1

sin х 1 1

~ ^Х* ЗГЗ ⁺ 5Г5^_7Г7‘

Вычисления производим согласно приведенному выше алгоритму с семью десятичными знаками: 1—0,0555556 + 0,0016667—0,0000283 =

Г sin;

’J-

dxv 0,946083. •

=0,9460828 « 0,946083. Значит,

0,3

42. Вычислить J е ^х dx с точностью до 0,00001.

О Заменив в разложении

__2 ₂ х* х⁶ х*

^{в =} 2! зГ⁺4!

Проинтегрируем этот ряд почленно:

0,3 0,3

| e-*²dx= J (l-х²+^Х--^Х-+^Х-- ...)*=

* 3⁺2!-5 3!-7⁺4!-9

°'³ _Л, (0,3)³ , (0,3)⁵ (0,3)⁷ ,

„ ’ 3 2!-5 3! -7 "

027 0,00243 0,000219 =0,3— —⁺ •••=0.3 - 0,009 + 0,000243 - 0,000005+ ...

Так как 0,000005 < 0,00001, то для приближенного вычисления интеграла

с точностью до 0,00001 достаточно взять сумму первых трех членов ряда. о,з

Значит, f =0,3-0,009+0,000243 =0,309243«0,30924. * о

Используя соответствующие ряды, выполните вычисления с заданной степенью точности.

Глава 28 ряды фурье

Функция sin (сох+ф) имеет период Т=2п/<о. Величина* * обратная периоду, т. е. v= l/r=co/(27i), называется частотой; она показывает, сколько раз данное периодическое явление повторяется в единицу времени. Синусоидальную функцию можно преобразовать к виду

/(х) = A sin (оох+ф) = A sin сох cos ф + A cos сох sin ф.

Полагая Л8Шф = я, Лсо8ф = 6, получим /(x) = acosa)x+/>sincox.

Простые гармоники можно складывать, причем их суммой служит простая или сложная гармоника. Если составляющие гармоники имеют одинаковую частоту, то и их сумма является гармоникой с той же частотой и с тем же периодом, т. е. простой гармоникой. При сложении гармоник разных частот получается новая периодическая функция—сложная гармо­ника.

Функция f(x), представляющая собой сумму конечного числа гармоник:

/(х) = а₀ + (а! cos х+bj sin х) + (а₂ cos 2х+b₂ sin 2х) + ... + (а_п cos пх+b_n sin пх).

является периодической функцией с периодом Т=2п.

2. Тригонометрический ряд Фурье. Тригонометрическим рядом Фурье для фукции /(х) в промежутке изменения аргумента —п^х^п называется ряд вида

а₀ ,

f(x) =—+(a₁ cosx+/>i sinx) + (tf₂cos2x+&2^siⁿ2*)+ •••

+ (a_ncosHX+6„sinrtx)+ ..., (28.1)

или, короче,

Яп Д

f(x)-—+ ]Г (а_п cos пх+b_n sin пх), (28.2)

^ _И=1

где а₀, а_и а_п, ..., b_l9 b₂,..., Ь_п—коэффициенты ряда, называемые

коэффициентами Фурье.

Функция /(х)—периодическая с периодом 2к.

Тригонометрический ряд достаточно рассматривать только для значений х в промежутке 0<х<2я (или — я^х^я), так как за пределами указанного промежутка значений аргумента величина каждого члена ряда периодически повторяется.

Разложение функции, представляющей сложное периодическое движение, в тригонометрический ряд имеет важное значение в прикладных науках. Такое разложение в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом.

Чтобы разложить периодическую функцию /(х) с периодом 2л в тригонометрический ряд, нужно найти коэффициенты этого ряда, которые вычисляются по формулам:

я

^ао=~ ^f(x)dx, (28.3)

Формула (28.3)^1Г,поЛуЧШ# из формулы (28.4) при п=0.

2. Условия Дирихле для функций. Напомним (см. гл. 6, § 6), что точка х₀ называется точкой разрыва I рода функции /(*)> если при х-*х₀ существует лево­сторонний конечный предел f(x₀ —0) и правосторонний конечный предел /(*0+0), не равные между собой, т. е. если f(x₀—0)^/(х_о+0).

Функция f(x) с областью определения — п^х^п может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к данной функции f(x) при определенных условиях, называемых условиями Дирихле:

1. функция должна быть непрерывной в промежутке — или может иметь в указанном промежутке конечное число разрывов I рода;

2. функция должна иметь конечное число экстремумов или не иметь их совсем (в технических приложениях очень редко встречаются функции с бесконечным числом экстремумов).

2. Теорема Дирихле. Если функция f(x) с областью определения —к^х^к удовлетворяет условиям Дирихле, то:

1. ряд Фурье функции f{x) сходится в указанном промежутке зна­чений х;

2. сумма этого ряда равна функции f(x) во всех точках непрерывности данной функции, лежащих внутри промежутка —л<х<л;

/(х_о—0) +/(х₀+0)

3. во всех точках разрыва сумма ряда равна ;

4. на концах промежутка, т. е. при х= —к и х=п, сумма ряда имеет

Л-я+0)+/(1с-0) одно и то же значение, равное .

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

ссО,

№

ГО ПрИ — П^Х<(

(X при 0<х<я.

О График функции вместе с периодическим продолжением на всю ось Ох изображен на рис. 180.

По формулам (28.3) — (28.5) найдем коэффициенты Фурье, учитывая, что /(*)=0 в промежутке — я^хсО и f(x)=x в промежутке 0<*<я. Сначала находим

я и я

я₀=- j*/(jc) J 0dx+JxflbcJ.

я —я О

0. f Ay ^Х* ’-,j^XdX-2i

Первый интеграл равен нулю, поэтому а₀ =

Далее, находим коэффициенты а_п:

о

я„=- J*/(x)coswx^x=ij^ Jo-cos/ixrfx+Jxcoswx^/xJ.

-я -я О

Первый интеграл равен нулю, второй интеграл вычисляем по частям по формуле \udv = uv—\v du. Здесь и=х, dv=cos пх dx, du=dx, v=-sm пх, откуда

if¹ . I^я 1 f . . 1 1Г1 . 1 I^я

a=-\ -xsmnx — sin nxdx =- -xsinwxH—~cos nx = n\n Jo nj J n\n n² Jo

0

1Г1 . 1 Л ¹ Yl 1/ 1 1 \ 1 ,

=- — к sin пк H—-coswtt—I OH—=■ = - OH—rcoswr—r I=—(cos nn—\) = n\_n n \ n²yJ n\ n n² J n²n

n к

Интегрируем по частям; полагая м=х, fifo = sinихdx, du—dx, v= —cos nx,

n

получим

, !Г ¹ T ¹ f . 1 ^!Г ^{1 1} Т

откуда bi = 1, b₃=j, b_A= *5=^,....

Согласно формуле (28.1), имеем

/(;c)=^+^—-cosx+sin x^+^0—^ sin 2x^4-^ —cos 3xH--sin 3x^4- 4-( 0—-sinAx 14-1 —7—cos5x4-isin5x )4-...

V ⁴ / V ⁵ * ⁵ /

или

2/cosx cos3x cos5x \ ⁺^⁺—⁺-j- /sinx sin2x sin3x sin4x sin5x \ \l 2 * 3 4“⁺ 5 ⁺ "7

n 2/cosx cos3x cos5x \

/W = 4~zl —+ ^2- + ^2-+ - ) +

2. Разложите в ряд Фурье следующие периодические функции:

={"о

={1

/у ^ I^-* ^ПР^И -*<*«>> ^ ^

1) f(x) = < _Л в промежутке —п^х<к. ^{1 Л} при 0<х<я

1. 2) fix)

   — 1 при —

0. при 0<х<л:

3. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию /(х) = 2x4-3 в промежутке — к < х < п.