29. Разложите в ряд Маклорена функцию:

1 )/(*) = sin Зх; 2)/(x) = sinx²; 3)/(x)=cos2a:;

4. /W = sin²x; 5)/(x)=sinу.

30. Найдите три первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции: 1) f(x) = xe^x; 2) f(x) = e^smx; 3) f(x) = e^xcosx;

2. f(x)=e~^xsinx; 5)/(x)=-i—.

COSX

31. С помощью биномиального ряда найдите пять первых членов разложения в ряд Маклорена функции: 1)f(x) = \J 1 +*;

2)/(х)=уГ^; 3)/(х)=—^L=; 4)/(*)=- ¹

32. Разложите в ряд Тейлора функцию: 1 )/(х)=^х³ по степеням х-1; 2)f(x)=- по степеням х+3; 3)/(х)=—по степеням х+2;

X 1+ Х

4. /(*)==-т ^по степеням х—1.

х

33. Разложите в ряд Тейлора функцию: 1) /(x) = sinx по степеням х-^; 2)/(x)=cosx по степеням х+^; 3)/(x) = cos^ по степеням х+^; 4)/(x) = sin²x по степеням х—

2. 6

34. Разложите в ряд Тейлора функцию: \)f(x) = e~^3x по степе­ням х+1; 2)Дх)=хе^х по степеням х—2.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

1. Найдите промежуток сходи- 1) Найдите промежуток сходи-

0° у_хп 00 _хп

мости степенного ряда У ——. мости степенного ряда У ——

п= 1 И=1 ^ ’2

2. Разложите в ряд Маклорена 2) Разложите в ряд Маклорена

х

функцию /(х)=COS-. функцию /(х)=1п(1+ 5х).

3. Разложите в ряд Тейлора по 3) Разложите в ряд Тейлора по степеням х+3 функцию f(x) = e~^2x. к

степеням х—- функцию /(x) = cosx.

§ 7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций

С помощью формул Тейлора и Маклорена находят числовые значения различных функций. На основании этих формул составлены различные таблицы числовых значений тригонометрических, логарифмических, показа­тельных функций, таблицы квадратных и кубических корней и т. д.

В настоящее время для вычисления значений различных функций используются также микрокалькуляторы и ЭВМ, которые гарантируют достаточную точность и быстроту вычислений. Вместе с тем рассмотренные в этом параграфе примеры вычисления значений функций с помощью рядов полезны не только для выработки некоторых практических навыков, но и для ознакомления с приемами составления алгоритмов вычисления различ­ных функций.

35. Вычислить sin 16° с точностью до 0,000Ц

О При вычислении приближенного значения функции с заданной точностью удобно пользоваться знакочередующимися рядами, так как погрешность приближенного значения суммы меньше абсолютной величины первого из отброшенных членов.

Рассмотрим ряд

япл:=х——+———+

Переведем градусную меру угла в радианную: х= 16° «0,27925 рад. Подставив это значение в разложение sinx, получим

О 27925? О 27925^s

sin л:=0,27925— + ’ ■■■-- ...=0,27925-0,00363+0,000014- ...

1. 2-3 1-2-3*45

(вычисления произведены на микрокалькуляторе). Абсолютная величина третьего члена этого ряда меньше 0,0001 (0,000014 <0,0001); тогда согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближен­ного значения достаточно взять сумму двух первых членов ряда, т. е. sin 16°«0,27925-0,00363=0,2756. •

36. Вычислить In 1,2 с точностью до 0,0001.

О Рассмотрим ряд

х² X³ х⁴ х⁵ 1п(1+х) = х-у + у- —+ у- ...

Полагая jc=0,2, получим

Л, (0,2)² , (ОД)³ (0,2)* , (0,2)⁵ In 1,2=0,2 - _+__...=

=0,2-0,02 + 0,00267-0,0004+0,00006- ....

Поскольку 0,00006 <0,0001, для приближенного значения In 1,2 с точ­ностью до 0,0001 достаточно взять сумму первых четырех членов ряда. Окончательно находим In 1,2 = 0,2 — 0,02 + 0,00267 — 0,0004 = 0,18227 « 0,1823. ф

37. Извлечь \J1,025 с точностью до 0,00001.

О Имеем \J1,025 = (1 + 0,025)^1/3. Рассмотрим биномиальный ряд

, т(т— 1) , т(т— 1)(т—2) - (\+х)^т=\+тх+-^ + 1-2-3

Полагая х=0,025 и т =1/3, получим

КИ Кг-Хг»)

£Аг / in m*\2a.±Si Аг и

(1 + 0,025)^1/3 = 1 +^ • 0,025+^ —(0,025)² + " —^(0,025)³ +... =

= 1 +0,008333 - 0,000069 +0,000001.

Это знакочередующийся ряд, в котором четвертый член 0,000001 < <0,00001; следовательно, для приближенного вычисления ^1,025 с точ­ностью до 0,00001 достаточно взять три первых члена суммы ряда. Итак, (1 +0,025)^1/3 = 1 +0,00833-0,000069= 1,00826. *

Используя соответствующие ряды, выполните вычисления с заданной точностью. Ответ проверьте на микрокалькуляторе. 38. С точностью до 0,0001: 1) sin 26°; 2) sin 38°; 3) cos 16°;

cos 47°.

39. С точностью до 0,0001: 1) In 1,02; 2) In 1,1.

40. С точностью до 0,001: 1) у/1,003; 2) \J 1,012; 3) ^/Тй2.