§ 6. Разложение функций в степенные ряды

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

f(_x)=f(a)+f(a)(x-a)+^f^P(x-ar+ ... +^M(*-_a)’+ ... . (27.8)

2л П\

Если а=О, то получим частный случай ряда Тейлора

_/ы-__т+а_х+т_х,₊...₊гт_х.,..., ₍₂₇,„

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью проме­жутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена необходимо:

1. вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке х=0, т. е. /(0), /'(0), /''(0),..., /⁽">(0);

2. составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу (27.9);

3. найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле (27.7).

Для разложения функции в ряд Тейлора необходимо:

1. вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке х=а, т. е. /(а), /'(а), /"(в),..., /^<п)(а);

2. составить ряд Тейлора, подставив значения функции и ее последо­вательных производных в формулу (27.8);

3. найти промежуток сходимости по формуле (27.7).

26. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1 )f(x)=e^x; 2) f(x)=sinx; 3)f(x)=cosx; 4) /(*)=y^S 5) Д*)=1п(1+*); 6) /(x)=(l+x)^m; 7) /М=у~; 8) /(x)=cos²x; 9) f(x)=arctgx; 10) Дх)=^.

О 1) Вычислим значения функции и ее производных при х=0; имеем f[x)=e*, f'(x)=e\ f"(x)=e\ /<”>(х)=е*; /(0)=1, /'(0)=1, /"(0)=1, ..., /«(0)=1 (w=l, 2, 3,4

Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена:

Этот ряд называется экспоненциальным рядом. Промежуток сходимости найдем по формуле (27.7):

1. 1 а„ (л + 1) л!

   1

^а" л!’ ^Qn+1 (л+1)! (л+ 1)л!’ а_п+1 л!

а_п

R= lim

= lim | л + 1 | = оо, т. е. — оо <х< оо.

Полученный ряд сходится к функции f{x)=e^x при любых значениях х, так как в любом промежутке функция Дх) = е^х и ее производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом.

2. Вычислим значения функции и ее производных при х=0; имеем Дх)= = sinx, /'(x)=cosx, f"(x)= — sinx, f"'(x)= — cosx, /^IV(x)=sinx; /(0)=0, f (0) = 1, f" (0)=0; /"' (0) = — 1, /^IV (0) = 0.Заметим, что производные четного порядка /'^2и)(0)=0, а производные нечетного порядка /^(2и-1)(0)= =(-1)"'¹ (л = 1, 2, 3, 4,...).

Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение синуса в ряд Маклорена:

х X³ х⁵ х⁷ . х²"^-1

““'"ТГзТ⁺5!~7! ⁺ - ^+(_1) (2ЙЗТ)1⁺ - ’

Промежуток сходимости полученного ряда найдем по формуле (27.7):

1

1

1

1

> + 1 —

^в (2л-1)!

[2(п+1)-1]! (2и+1)! (2и+1)-2л(2л—1)!

=(2л+1)-2л; lim

= lim | (2л +1) • 2л | = оо,

Я«+1

а„ (2л+1)-2я(2п-1)!

(2и—1)!

т. е. ряд сходится в промежутке — оо<х<оо.

2. Рассуждая так же, как и в п. 2, аналогично получаем

_v2 _v4 _v6 _v2n

Л Л Л / -\_и ^

“^!'-'-2! ⁺ 4!-6!⁺ (й)!⁺ -"

причем этот ряд сходится в промежутке — оо<х<оо.

2. Вычислим значения функции и ее производных при х=0; имеем /(х)=

°*гЬ ^/”⁽*>—(irlr ^/"^м*

-(- ■rVfrb'"-^|; ГЩ- -1; г(0).2; /-(о). -2-3; .... /”(0)-

⁼( 1)” и (« 1) (я 2)... .

Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение функции

/(х)= в ряд Маклорена:

1. +х

¹ -1 ^Х_х\²^ 2-3 , _п.я(я-1)(и-2)

1+* 1! 2! 3!* ⁺ -^{+( 1}> и! ^Х+ •

=1—х+х²—х³+...+(—1)"х^и+... .

+ X ^{v 1}

Промежуток сходимости найдем по формуле (27.7): а_п= 1, а_я+1 = 1; aJ^a«+1 = 1; Л=1. Следовательно, — 1<л:<1.

При х= — 1 и х= 1 ряд расходится, поэтому область’сходимости ряда—промежуток — 1 < х < 1.

2. I способ. Вычислим значения функции и ее производных при х=0;

имеем /(x)=ln(l +х), /'(*)=y-L-, /"(*)= /"(*)=

= Л0)=ln 1 =0, /'(0)= 1; /"(0)= -1, /"'(0)=2!, /™(0)= -3!. Отсюда

следует, что

/<"'(х)=(-1)-‘^_>/<»>(0)=(-1)”-¹-(_И-1)! (я=1, 2, 3, 4,...).

Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение данной функции в ряд Маклорена:

Ц,+,).,-£+£-£+ ... +(-!)- •£+ ... .

Этот ряд называется логарифмическим рядом.

п

= 1, т. е. — 1 <х< 1.

Промежуток сходимости найдем по формуле (27.7): а_п=-, а_п+1 =

1. 1+1

   /г

   а_п п+\ \

= = =1+-; R= lim

п+1 а_п+1 п п п—*со

Исследуем сходимость ряда в точках х= — 1 и х= 1. При х= — 1 ряд расходится как гармонический. При х=\ имеем знакочередующийся ряд

ь²-^,4₊Н₊...₊нг4+.

который сходится по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в промежутке — 1 < х < 1.

х

С dx

способ. Известно, что ln(l+x)= поэтому разложение в ряд

о

найдем почленным интегрированием ряда для дроби (см. п. 4 данного

In (1 +х)=J*(l ” х+х²—х³ + ...)dx=

2. Вычислим значения функции и ее прЬййбдЬ&й^ °при х=б; имеем /Ы=(\+х)^т, f(x)=m(\ +х)^т~¹, f"(x)=m(m— l)(H-x)^w_2, f"'(x)=m(m — 1) х x(m —2)(l +х)^т~³, ..., fⁱⁿ⁾(x)=m(m—\)(m—2)...\m—(«-1)1(1 + x)^m_n; /(0)=1; /'(0) = m; /"(0)=w(w-l); f"(0)=m(m-\)(m-2); ...; /™(0)=m(m-1) ... x x[m-(n-l)] (#i=l, 2, 3, ...).

Подставив эти значения в формулу (27.9), получим разложение функции /(x)=(l +х)^т в ряд Маклорена:

_| т(т-1)(т-2)...(т-п+1) _{л |} п\

Этот ряд называется биномиальным рядом. Если т—целое положительное число, то ряд превращается в конечную сумму и получается формула бинома Ньютона.

Используя формулу (27.7), найдем промежуток сходимости ряда: т(т—\)...(т—п + \) т(т—\)...(т—п) т(т—\)...(т—п)

^й"⁼ и! ’ ^а"⁺¹⁼ (Й+Iji ⁼ (Й+Тн ^;

1

1+-

п\т(т— \)...(т—п)

а_п т(т—\)...(т—п+1)(п+\)'п\ п+1

^ап+1

1

1+-

П

R= lim

Л—00

= lim

л—►oo

= 1.

--1

П

Следовательно, ряд сходится к функции (1 Ч-лг)^т в промежутке — 1 <*< 1. При |jc|> 1 ряд расходится. В точках х= — 1 и х=\ ряд может сходиться и расходиться в зависимости от показателя степени т. Так, при т> О и х=±1 ряд сходится абсолютно; при — 1<т<0 и х=\ сходится условно; при —1 и х= 1, а также при т<0 и х= — \ ряд расходится.

2. Воспользуемся биномиальным рядом (см. п. 6 данного примера):

, , _Л т т(т— 1) , т(т-\)(т-^2)

(14-д:) = 1 + -х-\——-х Л— ^ '-х³ + ...

_| т(т-\)(т-2)...(т-п+1)^ _| п\

Заменяя в этой формуле х на —хи полагая т= — 1, получим

= 1 + х+ х²+х³ + ...X?+ ...(— 1 < X < 1).

2. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена cosx (см. д. 3 данного примера):

^ 2 2л

cosx=l-—!)»_+... (_со<х<оо). (*)

Заменив в этом разложении х на 2х, получим

(2х)² (2х)* , . (2х)²"

0. ^_ 2! ⁺ 4! ⁺(“ ^ (2Й]Г⁺

ИЛИ

cos2x=l-|x²+|^- ... +(-l)»JL^²»+ ... .

Разложение (*) справедливо при любом х; поэтому ряд Маклорена для cos 2х сходится к порождающей его функции также на всей числовой оси. Составим разложение в ряд Маклорена для функции /(x)=cos² х. Из

тригонометрии известно, что cos²x=-(l+cos2x); следовательно,

,1/. , 1Г / 2²х² 2⁴х⁴ , _ч 1^2пх^2п "1

cos²x=-(l+cos2x)=-^l+^-—+--...+(-1)"-^-+..^ =

1. 2³ 2²"^{-1 = 1_}2!^{х2 +} 4!*⁴“---⁺⁽~¹⁾”(2^*²'⁴"- •

2. Запишем выражение данной функции в виде интеграла: arctg х=

dx

о

Разложим подынтегральную функцию г в ряд Маклорена. Для

1+х

этого в разложении

—= 1 +х + Х²+ ... +х^п+ ... (—1<х<1)

1—X

(см. п. 7 данного примера) заменим х на — х²; тогда получим

0. 1

1 —(—х²) 1+х

Г=1-Х² + *⁴-Х⁶+... +(-1)^их²"+... .

Интегрируя этот ряд внутри промежутка его сходимости — 1<х<1, находим

х

arctgx=J(l — х² + х⁴—х⁶+ ... +(—1)"х^2и + ...)dx,

-+ ... .

^{х х х} / arctg х=х—-+- -+ ... +(-!)";

Этот ряд сходится в промежутке — 1<х<1.

2. Воспользуемся разложением

х³ х⁵ х^п

sin JC=

(см. п. 2 данного примера). Разделив обе части этого равенства на х, получим

Ап

; + — 00<Х<00. •

sinx „ Х~ X" x^v , . _л х“

—-¹ - ЗТ⁺5! - 7Т⁺ ■' ⁺<-'> (2^ 1).

27. Разложить в ряд Тейлора функцию: 1) f(x) = e^2x по степеням х— 1; 2) /(л:) = 1пл: по степеням х— 1; 3) /(x) = cosx по степеням х—

О 1)1 способ. Вычислим значения данной функции и ее производных при х=1; имеем: f(x) = e^2x, /'(*)=2е^2х, /"(х)=4е^2х, f'"(x)=8e^2x, ..., /^(и)(х) = = 2^ае^2х; /(1)=е², /'(1) = 2е², /"(l)=4e², /"'(l)=&>², ..., /<">(1) = 2"е².

Подставив эти значения в формулу (27.8), получим разложение функции f(x)=e^2x в ряд Тейлора по степеням х— 1:

_e^_=e^i ₊2_(х_1)₊4 _(х__{1)2+ +}|_(х__1)л+

Промежуток сходимости ряда найдем по формуле (27.7):

_2" 2^И+1 _ 2^И+1 _2^п(п+1)п\_

В УЗ II			Л+1
		= lim		= 00,
Я-» 00	Я« + 1	л —► oo	2

^а„ ^ <*п+1 _|_ 1)_w?’ a_{n+l п}\2ⁿ⁺¹

_л+1

0. ’

т. е. промежуток сходимости—вся числовая ось.

1. способ. Если в разложении

д.3

1. +*+—+—-+...+—+...(- оо <х< оо)

2! 3! п\

2 2² 2" е^2х= 1 +—х+—х²+ ...+—х"+....

2(X-1) _2

(см. п. 1 примера 26) заменим х на 2х, то получим ряд Маклорена для функции е^2х:

(*)

Функцию е представим в виде е ^{(х 1}} е и подставим это выражение в

формулу (*), заменив х на х—1. Получим

2. 2"

   , _v 2²

_е2х _{= е}2(х 1) _e2 _{= e}2j-i₊_(_x_₁J ₊ _^_iJ2_{+ +}_(_х_1)и₊ ]

2. Вычислим значения функции и ее производных в точке х=1; имеем f(x)=\nx, f'(x)=~, /'(*) =—f"(x)=\ f(x)=~4 •••> fⁿ⁾(x)=

X X X X

J-ty \п~Ц. _/(1)=lnl=0. /'(!)=!; /»(1)=-1; /'"(1)=2; /"(1)= =-2-3,(l) = (-l)"-¹(n-l)!.

Подставив эти значения в формулу (27.8), получим разложение функции /(х)=1пх в ряд Тейлора по степеням jc— 1:

1. —1 2 ( — 1)!

1пх=0+—(х—1)4 (х-1)²+—(х—1)³ + ...+ (х-1)" + ...

ап		1
	= lim	1+-
ап+ 1	и—*00	п

R= lim

«—►оо

= 1, т. е. — 1 <jc< 1.

Исследуем ряд на сходимость при jc= — 1 и х=1. При jc= — 1 получим g

расходящийся ряд —2—2—-—4—..., а при х=1—расходящийся ряд

• 0+0—.... Следовательно, ряд сходится в промежутке — 1 <лг< 1.

2. Вычислим значения функции и ее производных в точке х=я/6; имеем /(х) =cos х, f (х) = — sin х, /" (х) = — cos х, /"' (х) = sin х, /^1V (х)=cos х; /(я/6) = =Уз/2; /(я/6)= —1/2; f (п/6)=-/1/2, /"(*/6)=1/2, /^1У(я/6)=^3/2.

Подставив эти значения в формулу (27.8), получим разложение функции /(x)=cosx в ряд Тейлора по степеням х—я/6:

—#4Н)-йН)^,+^Н)’⁺'

или

ЧИчННННН •

COS X

28. Разложите в ряд Маклорена функцию:

1. )/(х)=е⁴*; 2)f(x)=e-*\

3. /М = 1п^1+-J; 4)Дх) = а^х (а>0₉аФ\).