§ 5. Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

00

(27.4)

£ а_пх^п = а₀ + а₁х+а₂х² + ... +а_пх^п+ ... ,

п = О

где числа а₀, a_l9 а₂, а_п, ... называются коэффициентами ряда, а член а_пх^п—общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда (27.4), если при |х|<Л ряд сходится и притом абсолютно, а при |x|>i? ряд расходится.

Радиус сходимости R можно найти, используя признак Даламбера:

^п+ 1

= | х | lim

Qn+1

Яп+1*

<1

lim

а„х^п

(27.5)

(х не зависит от п), откуда

| х | < lim

т. е. если ряд (27.4) сходится при любых х, удовлетворяющих условию (27.5), и расходится при

| jc | > lim . (27.6)

Отсюда следует, что если существует предел

а_п

(27.7)

R= lim

(а„#0, я= 1, 2, 3, ...),

&п+ 1

то радиус сходимости ряда R равен этому пределу и ряд (27.4) сходится при |х|<Я, т. е. в промежутке —R<x<R, который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если предел (27.7) равен нулю (Л=0), то ряд (27.4) сходится в единственной точке х=0.

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться. Сходимость ряда (27.4) при х= —R и x=R исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

21. Дан ряд

2. З² З³ 3^й

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

_п _^/1 + ¹ и_и+1_(л+1)-З^и_я+1 1 / 1\ и_л-Hi+1-рт; —р_ТТ——■—_3^+-j^;

сходится.

lim lim (1+-)=^< 1, т. e. ряд

л-юо W„ Зл->оо у П J 3

При х = 3 получим ряд

1.3+1-3²+1-3³+...+^-3"+...

з з² з³ 3"

или

0. + 2 + 3+ ... +и+ ... , который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда (lim п Ф 0).

л->оо

При х = —2 получим

1(-2)₊А(_2)Ч^(-2)³+ ... +у_я(-2Г+ ...

или

”Г²⁺?'^22_?'²³⁺ - +(~'Г-?^Г+ •" •

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках х=\ и х= —2 ряд сходится, а в точке х=3 •расходится, ф

22. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

2. £уГ*⁺71^7з⁺"-⁺;л^f”^:

2. £ 2"(х-1)^и=1+2(л:-1) + 2²(л:-1)²+... +2^я(;с-1)"+... .

л = 0

О 1) Используя формулу (27.7) получим

0. 1 1

^ап~ Г» ^ап+ 1

(и+1)! («+!)•«!’

а_п (и+1)-и!

= п+1; R= lim

Я«+1

= lim (л+1) = оо.

а_п+1

Следовательно, промежуток сходимости есть — оосхсоо, т. е. данный ряд сходится на всей числовой оси.

2. Согласно формуле (27.7), находим

—=7 ТГ“7> *^=lim

^ап + 1 (и+ 1) И ! л->оо

1

= lim

=0.

л+1

Ряд сходится только в одной точке jc=0.

2. Используя формулу (27.7), получим

л - ¹ • т - ¹ • ] I

я_и——р, а_п+1=—=, = р /Н—,

у/п у/п+\ ^ап+1 yjn V И

= 1.

1+-

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно при — 1 <х< 1.

Исследуем сходимость ряда в точках х= — 1 и х=1. При — 1 имеем

ряд

-1+———+...+(-i)“-—+....

у/2 у/b /п

Это знакочередующийся ряд, который в силу признака Лейбница сходится. При х=\ имеем ряд

, ^{1 1 1}

1 Н—pH—р+ ... Н—р+ ...

/2 Уз у/п

или

, ^{1 1 1}

21/2 ¹ 3I/2

1+ХТ77+—+ - +-Т7Т+ - •

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как р= 1 /2 < 1. Отсюда следует, что данный ряд сходится при — \^х<\.

2. Согласно формуле (27.7), получим

»_ ¹ _ ¹ _(^л+1)²_Л , Л².

^ап 2’ / ii\2’ 2 I I ’

п² \^П+Ч ^ап+1 п² \ п)

Ряд сходится в промежутке — \<х<\.

Исследуем сходимость ряда в точках х= — 1 и х= 1. При х= — 1 имеем знакочередующийся ряд

11. , , 1 •-+<-'Г

В силу признака Лейбница он сходится. Ряд

, ^{1 1 1}

¹⁺22 ⁺ ₃2+-+„2+- .

составленный из абсолютных величин его членов, есть обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как р=2>1.

При х— 1 имеем тот же сходящийся обобщенный гармонический ряд.

Следовательно, данный ряд сходится в промежутке — 1<х<1.

00

2. Полагая х—\ =у, получим ряд £ 2^пу^п(*). Используя формулу (27.7),

п = 0

имеем

а 2" 1 _п _?п. _9«+1. ^ап _ ^z _ .

’ ^ап+1~¹ »

я„+1 z z

л-»оо 2 2

Получили промежуток —\/2<у<\/2. Исследуем сходимость ряда в

00 / | \ И 00

точках _у= —1/2 и 7=1/2. При 7= —1/2 имеем ряд £ 2"( — - ) = £ (—1)"=

л = О \ 2 у п = о

оо / J \ и оо

= 1 — 1 +1 — который расходится. При у= 1/2 имеем ряд £ 2"( - ) = £ 1,

и = 0 \2/ и = 0

который также расходится. Следовательно, ряд (*) сходится в промежутке -1/2 <у <1/2.

1111 Выразив 7 через х, получим —-<х— 1 <-, или —-+1<х<-+1, или

1. 3 _

-<х<-. Это искомая область сходимости данного ряда. #

2. 2

23. Исследуйте сходимость ряда:

0° J

1. £ —•*" в точках — 1 и х = 2;

и ⁼ 1

⁰⁰ х"

2. У (—1)^ит \—гг в точках х=—2 и х=2.

.-1 (n+1) -2

24. Найдите промежуток сходимости степенного ряда:

25. Найдите промежуток сходимости степенного ряда:

00

^{2) 3)}'7?

2. I—' 5)'?

’ А.(«+!)' ’ А «’ '