§ 4. Вычисление суммы членов знакочередующегося ряда с заданной точностью и оценка остатка ряда

Согласно признаку Лейбница, знакочередующийся ряд

сходится, если члены его монотонно убывают по абсолютной величине и lim м_п=0.

Сумма этого ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена ряда, т. е. 0<|£| < | |, а остаток г_п по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда и„₊₁, т. е. |r„|<|K.+i|.

Сумму членов сходящегося ряда можно записать в виде S=S_n+r_n, где S_n—частичная сумма ряда.

Остаток г_п знакочередующегося сходящегося ряда также является знакочередующимся рядом. Если первый член остатка отрицателен, то и остаток отрицателен; тогда S_n>S, т. е. частичная сумма ряда вычисляется с избытком. Если же первый член остатка положителен, то S_n<S, т. е. частичная сумма ряда вычисляется с недостатком.

Признак Лейбница позволяет оценить погрешность при приближен­ных вычислениях с помощью знакочередующихся рядов. Погрешность, допускаемая при замене суммы сходящегося ряда суммой нескольких первых его членов, меньше абсолютной величины первого из отброшенных членов.

17. Используя признак Лейбница, установить сходимость ряда

знакочередующийся. Согласно признаку Лейбница, он сходится.

1. Имеем S=S^+r₄, или S= 1 ~^2+^2~^+^г4’ ^0ТКУД^а

5₄= 1 -W“=7^°,798⁶; 5=0,7986+r₄.

3. 9 16 144

Так как |r₄|<|w₅|, то |r₄|< 1/5² = 0,04 (г₄>0); следовательно, 0<r₄<0,04. Сумма ряда S «0,7986 (с недостатком) вычислена с погрешностью, не превышающей 0,04.

2. Имеем S=S₅ + r₅, или

»S= 1+г₅, т. е. S=0,8386 + г₅.

Так как |г₅|<|и_б|, то | г₅1< 1/36«0,0278. Из данного ряда видно, что г₅ < 0; следовательно, — 0,0278 < г₅ < 0.

Сумма ряда £«0,8386 (с избытком) вычислена с погрешностью, не превышающей 0,0278. ф

18. Сколько членов ряда £ (—l)”~^l2” ₂¹ нужно взять, чтобы

знакочередующийся; так как его члены убывают по абсолютной величине и

. 2w — 1 /2 1 \ lim ц,-lim ——=hm ---j =0,

Я-»00 /7->оо Я «->00 \ Л /I /

то, согласно признаку Лейбница, он сходится.

Имеем |г_и|<|м_и+11. Найдем такое п, чтобы |u„+iK0,01, т. е. чтобы

, 2(и+1)-1 2п+1 _лл1

^l“”^+ll_ (и+1)^{2 _}(п+1)^г< ’

2п +1

Решим уравнение ₇ т^=0,01; имеем

(и+1)²

=1; 200и+100=/г² + 2и+1;

(«+0

f и² — 198л—99=0,

^ /1«200.

1«>0;

Итак, чтобы вычислить сумму данного ряда с точностью до 0,01, необходимо взять 200 членов этого ряда, ф

00 J

19. 1) Дан сходящийся знакочередующийся ряд £ (— \)^{п + 1}-₍—-ту.

и=1 I^й

Оцените погрешность, допускаемую при замене суммы членов этого ряда суммой первых четырех его членов.

2) Дан сходящийся знакочередующийся ряд ]Г (— 1)^я+Л..-г_Г—>——.

п = 1 (и + 2)(л+3)

Оцените погрешность, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых пяти его членов.

⁰⁰ 1

20. 1) Дан сходящийся знакочередующийся ряд £ (~ 1)^и+1тг—гтг п=1 (3/1+1) Сколько членов этого ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? 2) Дан сходящийся знакочередующийся ряд £ (—i)”⁺¹^il

и — 1 \^2п)

Сколько членов этого ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?