§ 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости лейбница для знакочередующихся рядов

(27.2)

Числовой ряд

W1+W2 + W3+ ... +и„+...

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как поло­жительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (27.2) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (27.2) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член и_п стремится к нулю при п-*оо, то ряд (27.2) сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочере­дующихся рядов.

(27.3)

Знакопеременный ряд (27.2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

\^и1 1 + 1^21 + 1^Мз1 + — + l^Wnl + — >

составленный из абсолютных величин его членов, т. е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд (27.2) сходится, а составленный из аб­солютных величин его членов ряд (27.3) расходится, то данный ряд (27.2) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда (27.3) в общем случае не следует расходимость ряда (27.2).

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знако­чередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

14. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

О 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убы­вают: 1 и lim м_и=Нш -=0. Следовательно, согласно признаку 2 3 4 л->оо л->оо п

Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд

111 1

1Ч h... ,

0. 3 4 п

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

2. Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

1. 3 4

’^но

п 1 1 hm и„= hm -= lim г=г#0.

Л->00 Л->00 ZH— 1 И->00 1 L

2— п

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3. Используя признак Лейбница, получим

111 1 _л 1>->_>->... ; hmtt„=hm—т=0,

LA L л->оо л->оо Z

т. е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

111 1 ¹⁺2⁺?⁺2з⁺-⁺2^⁺- '

Это геометрический ряд вида ]Г aqⁿ (q= 1/2), который сходится. Поэтому

п = 0

данный ряд сходится абсолютно.

4. Используя признак Лейбница, имеем

111. 1 _л 1>—>—>—>... ; limи_п = lim —р=О, sj2 у/З у/ 4 "-⁰⁰

т. е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

, ^{1 1} Г 1

1Н—pH—pH—р+... Н—pH- ... ,

У2 Уз V4

или

J 1 1_ J_

¹+2¹/^{2 +} 3¹/^{2 +} 4^1/2+’”⁺л^1/2+''’ ‘

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как р= 1 /2 < 1. Следовательно, данный ряд сходится условно. #

15. Исследовать сходимость знакопеременного ряда

ОО п²+п 1 ~ _А

Z/ _tv a w 12 34 л

^ 2"^{= _}2^_2ⁱ⁺2⁵⁺2^j~ ⁺2"⁺ '

О Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

12 3 п

— Н-тт + ттН- ... +—+ ... .

1. 2 2³ 2^й

Для исследования этого ряда применим признак Даламбера. Имеем _п_ _п+\ и_п+1 п+\ п п+1 1/ А ^м"^{+1 —}2"*^’ ⁺й/

lim и,lim ( 1+-]=^<1.

/7->оо Z /7->оо \ ft J Z

Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится; следовательно, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно. #

16. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

1. (3«-1)^{2 =} 2^i_5ⁱ⁺8^i_’"⁺^^_1^ (3«—1)²⁺ *" ’

2. |иГ‘-^-Ч+Н⁺-⁺(-¹)"⁺¹-£т⁺-^;

3. Z (-1Г¹-^:

4. Z •

,-i v« V2 V3 V"

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

Используя признак Лейбница, 1) Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочере- исследуйте сходимость знакочере­дующегося ряда: дующегося ряда:

1. 2) Исследуйте на абсолютную и

   условную сходимость ряд:

   Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд: