Раздел IV

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ

Глава 27 ряды

§ 1. Числовые ряды

1. Основные понятия. Числовым рядом называется сумма вида

00

£ “» = «1+“2+«з + - + “п+- > (27.1)

п= 1

где числа u_l9 и₂, м₃, ..., п„, ..., называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член и_п называется общим членом ряда. Суммы

Sl=“n>

S₂ = u₁ + u₂,

*^3 ^{= М}1+^М2+^М3>

S_n = u_l + u₂ + u₃ + ... + u_n,

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S_l9 S₂, S₃, ..., S_n ... . Если при бесконечном возрастании номера п частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S—суммой сходящегося ряда, т. е.

lim S_n=S или ]im(u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n) = S.

«-♦00 00

Эта запись равносильна записи

00

Z U_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n + ... = S.

п= 1

Если частичная сумма S_n ряда (27.1) при неограниченном возрастании п не имеет конечного предела (в частности, стремится к +оо или к — оо), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом п является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n = S—S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то

его остаток стремится к нулю, т. е. limr„=0, и наоборот, если остаток

«-♦00

стремится к нулю, то ряд сходится.

2. Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения

00

частичной суммы первых п членов ряда £ aqⁿ, образованного из членов

и = 0 ^

геометрической прогрессии.

1. \q\< 1. Для нахождения частичной суммы воспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:

₀ _*i-ад

и * »

1 —q

где а_х—первый член, а_п = а^^{п 1}—п-й член, q—знаменатель прогрессии.

член, a_n = a_lqⁿ~¹ —

Следовательно,

_s ч" ^l Qi

1-q 1-q 1-q 1-q

Находим сумму ряда:

5= lim S„= lim ( -^1—^]=^-,

n-* oo n-+co у 1—q 1—qj 1—q

поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе—бесконечно малой величиной (qⁿ->0 при п-юо). Таким образом, в

^ai

данном случае ряд сходится, а его сумма есть S= .

1. -q

2. \q\>\. Частичную сумму S_n найдем по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии:

„ _a»q-ai ₌ aiqⁿ-ai^iq"

q— 1 q— 1 q— 1 q— 1 q—\

Тогда сумма ряда

S= lim S_n = lim ( ^—^ = 00,

n-* 00 л->00 у q—1 q—1 J

так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина (qⁿ-> 00 при и->оо). В этом случае ряд расходится.

3. q= 1. Находим

^Sn — ^а\ + ^а1 + ^а1 + — + ^а\ = ^а1^П'

Следовательно, lim S_n= lim (а₁п) = со. Значит, в данном случае ряд рас-

/7->оо П-* 00

ХОДИТСЯ.

4. q= — 1. Имеем

S_x=a,

52. = a—a=О,

53. = a—a+a=a,

S^ = a—a+a—a = О,

т. е. S_B=0 при п четном и S_n = a при п нечетном. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при \q\< \ и расходится при \q\^\. Ряд вида

£ aqⁿ будем называть геометрическим рядом.

п = О

3. Гармоническнй ряд. Ряд вида

*1,111 1

X 1+т4-~+-т+... Н Ь...

п 2 3 4 п

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

^S"⁼(¹⁺0⁺(5⁺^⁺(l⁺6⁺^)⁺(^⁺^⁺rr⁺" ⁺n)⁺ " •

Сумма S_n больше суммы, представленной следующим образом: ^s"^>(ⁱ⁺0⁺(b0⁺(i⁺rt⁺i)⁺(^⁺^⁺''⁺^)⁺"'

„,1111

2 2 2 2

Если Я—* 00, то

1+1+1+1+...-*-со, или 5,= 1+1(и-1)-»оо.

Следовательно, если оо, то S_n-+ оо, т. е. гармонический ряд расходится.

1. Записать ряд по его заданному общему члену: 1) w„=^S

оч ^{п + 2} г\

²⁾ ^“ьГТ- ³⁾ ‘*■“5-

О 1) Полагая л=1, л = 2, я = 3, ..., имеем бесконечную последователь-

2. 3 4

ность чисел: i/j =-, ы₂=-, ^{W3 =} g’ — • Сложив ее члены,⁴ получим ряд

® л+1 2 3 4 л+1

Л “гг '—~4~т+~4-...Н—~—h... •

2^й 2 4 8 2^й

2. Поступая так же, получим ряд

® и + 2 3 4 5 и+2

X ^ 7=Т+Т+7+- + П Г+- •

_п=! 2и — 1 1 3 5 2п— 1

2. Придавая п значения 1, 2, 3,... и учитывая, что 11 = 1, 2! = 1*2, 3! = 1 * 2 * 3, ..., получим ряд

“ х^п X X² х³ х^п

X —г⁼⁼т+‘:—гН^-"—г—-+... Н—Г+ ... • ф _П^п\ 1 1-2 1-2*3 п\

2. Найти п-й член ряда по его данным первым членам:

О 1) Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечетными

1

числами; следовательно, п-и член ряда имеет вид -.

2и+1

2. Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны п\. Знаки

Гп

чередуются по закону (—1)". Общий член ряда имеет вид (—1)”.

п\

2. Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соот­ветствующие им знаменатели—натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону (—1)"⁺¹ или по закону ( —I)""¹. Значит, л-й член ряда

имеет вид „ли

3. Найти сумму членов ряда:

V ¹ - ^{1 1 1 1}

' _я^'₁(2и-1)(2п+1)^-П⁺З^т5 ⁺ 5^т7 ⁺ "'⁺(2и-1)(2и+1)⁺"’ ’

^,1 111 1 »= 1 2 2 4 8 2^й

О 1) Находим частичные суммы членов ряда:

1. 112 ^Sl=ttl-3^{; S2_}“¹⁺“²"3⁺T5"5^;

13 3 14

S₃ = Wi+i/₂ + W3=-+—=S_A = U₁ + U₂+U₃ + U4=-+—

1. 2 3 4 n

Запишем последовательность частичных сумм: -, -, -, -, ..., -, ... .

2. 5 7 9 2л+1

п 1

Общий член этой последовательности есть -= Следовательно,

2л+1 ^ 1

2Л— п

S= lim S_n= lim —т=х-

/7—>QO /7->00 1 2

2Н— п

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный 1/2. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1/12.

2. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой

1

ал 2

а₁ = \/2, <7=1/2. Используя формулу S= , получим S= =1. Значит,

ряд сходится и его сумма равна 1. #

4. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

5. Найдите первые четыре члена ряда по его заданному общему члену:

■> 2) 3) “.-(5гдагП)'

4) «„=(-1)"'¹-5) «„=7-^-

2/1 ⁵ " (л+1)(л + 2)’

6. Найдите п-й член ряда по его данным первым членам:

3 5 7 1 1 1 1

⁴ 2⁺4⁺6⁺8 ⁺ -" ^{; 2)} 3^_5 ⁺ 7^_5⁺ ' ^;

3) ¹ | V* | */? | </< | • ₄₎ ?_?₊1_1+

М-2 1-2-3 1-2-3-4 1-2-3-4-5 ‘ ’ М 9 16 25

7. Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

1ч ² , ⁴ , ⁸ , ¹⁶ , 1 , 1-2 1-2-3 1-2-3-4

⁴ Т⁺4⁺9⁺Тб⁺ - ^{; 2)} 9⁺1Г⁺-ЗГ⁺ТТ-⁺• ^;

..1.1 1 1 „_ч 2 3 4 5

^ З⁷^ 5^T8 ⁺ 7^Tl0 9^Т12 ⁺ '" ’ ^ 5~8⁺ТТ^_Т4⁺"‘ ‘

8. Вычислите сумму членов ряда:

2. 3 ⁺ 15 ⁺ 35 ⁺ -⁺4^Т⁺- •

заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

00

X aq^H = a+aq + aq² + ... + aq* + ... (я>0),

п — 1

который сходится при \q\<\ и расходится при \q\^\ (см. § 1, п. 2), и гармонический ряд

-ill 1 X --1,

„₌₁л 2 3 п

являющийся расходящимся (см. § 1, п. 3).

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический

ряд

111 1

1+~+гт+~+...Н—•

2^Р Ъ^р 4^Р п^р

Если р= 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если р< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При р> 1 имеем геометри­ческий ряд, в котором |#|<1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при р> 1 и расходится при р^ 1.

б) Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

00

Z ^Un ^{= U}l +И₂ + ^М3+ ... +и_п + и_п+1 + ... (и„>0) и=1

выполняется условие lim ^Un+1=/, то ряд сходится при /<1 и расходится при

оо и„

/> 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если /=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

9. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый при­знак сходимости и признак сравнения:

_и“^₂1п2 1п2~*”1пЗ~*”1п4^~***~*~1пл~^’”

О 1) Находим lim и_п = lim j-——-=0. Необходимый признак сходи-

/7->00 /7—00 \2П 1) *2”

мости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно 396 применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

I _L J_ 1 2⁺?⁺2⁵⁺"'⁺2"⁺"' ’ который сходится, так как q= 1/2 < 1.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствую­щими членами геометрического ряда, получим неравенства

1111 1 1

"• ^: (2п-1)-2^я<2Г^; ’

т. е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд схо­дится.

2. Имеем

п 1 lim и_п= lim -= lim = 1 ^0.

П-* 00 /7->00 П + 1 Л—> 00 1

1+- П

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится. При сравнении данного ряда с гармоническим также убеждаемся, что ряд расходится.

2. Находим lim и_п = lim——=0. Необходимый признак сходимости

^п~*^{со п}^Пу/П

ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

1. _1_ J_

^{1 +}2³/^{2 +} 3³/²⁺‘**⁺_л³/²⁺'‘' ’

который сходится, поскольку />=3/2 > 1 (см. п. 2). Следовательно, сходится и данный ряд. ^

2. Находим limw_n=lim-—=0. Сравним данный ряд с гармоническим

л->00 П-* 00 In П

рядом

1 ^{1 1} 1 .И—h... .

2. 3 п

Для всех п^2 выполняется неравенство г—>-; следовательно, ряд

In л п

расходится, так как его члены превосходят соответствующие члены гармонического (расходящегося) ряда.

10. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

' 2л * ^{л1 4} *

О 1) Подставив в общий член ряда — вместо п число л+1, получим

2(л+1) /

_в+1 . Найдем предел отношения (л+1)-го члена К п-иу члену при п-юо:

и_п+1_2(п+\) 2л_л+1_1 / А —- ₅«+i ~у~1й~~5\ ⁺„у’

«U+1 1.. /, ,1\ 1 ,

lim =- lim ( 1+- =-<1.

л—>оо 5 /7->оо у п J 5

Следовательно, данный ряд сходится.

3™ 3”

2. Имеем и„=^; «»-и=(_п+1)₂> и_п+1 3"⁺¹ 3" Зи²

К (п+1)²'п² (я+1)² V-.-/ \ ₁₊^_/

л

lim ^^-=3 lim ( —— 1 = 3 ( lim —— J = 3>1. Л-* 00 U„ /7->00 \ 1 I \ /7->00 1 I \ 14—/ \ 1 +-/ п п

Значит, данный ряд расходится.

л! (л+1)! (л+1) л!

=—, ” - —

2. Имеем к_и=-; и_и+1=- - _А ,

и_п+1_(п + \)п\п\_п+1

• - з«+1

!« ^И+1 *. Л+1

lim = lim —— = оо > 1,

л->оо М_ /7->оо 3

т. е. ряд расходится, ф

11. Исследуйте сходимость ряда, применяя необходимый при­знак и один из признаков сравнения:

12. Исследуйте сходимость ряда, используя признак Даламбера

£ п _ 1 2 3 п

’ _Bi‘;3^T2"^-3^:2 ⁺ 3⁷2⁵⁺3-2³⁺'"⁺3-2"⁺"' ’

у (i»+l)f_l-2, 1-2-3 1-2-3-4 (п+1)! .

^} 3" з ⁺ з^{2 +} з³ ' 3" ⁺- *

^,1 1 1 1 ³⁾„?Х⁼¹⁺?⁺з^:г+-⁺^⁺-^;

он 'У \2 оЗ <уп

1*2 2*3 3*4 л(л+1)

13. Исследуйте сходимость ряда:

£ Зи-1 , 5 8 3w—1

¹⁾.?,^Г-¹⁺4⁺б⁺"⁺^Г⁺"^;

' _Bti 10л^1О_ 10- 1^1О+10-2^1О_1_10-3^1О+"' 10-и^1О+"‘ ■

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

вариант II вариант

1. Найдите первые четыре члена 1) Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену: ряда по заданному общему члену:

. Зи+2

^а> ^д-⁼/- , ^а) ^а"⁼7

'(ги+^-г"-¹’ ” (Зи-^-г"-¹’

_ и+1 3/1+1

^б) ^а»=ъ—а Ч.-i- ^б) ^а»=

(2n—1)-3"^_1 " (n²+l)-3"^_1

2. Используя признак сравнения, исследуйте сходимость ряда

” 1

2. Используя признак Даламбе­ра, исследуйте сходимость ряда

” 1

3. Используя признак сравнения, исследуйте сходимость ряда

£ 1

„?i(n+l)(n + 3)'

4. Используя признак Даламбе­ра, исследуйте сходимость ряда

оо