§ 12. Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению, что достигается возведением обеих его частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз).

При возведении обеих частей иррационального уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Уравне- нию-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут

появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения («посторонние» корни). Чтобы выявить «посторонние» корни, все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение и «посторонние» корни отбрасывают.

Исходное иррациональное уравнение равносильно смешанной системе, состоящей из уравнения-следствия и ограничений, определяемых областью допустимых значений переменной. В этом случае «посторонние» корни не будут входить в область допустимых значений переменной и проверять их подстановкой в исходное уравнение не требуется.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

51. Решить иррациональные уравнения:

1) 4=2; 2) Ух²-7 = 3; 3) у/х=х-6; 4) у/х²-12=у/х; 5) /х-5=^/3-х; 6) уД-3=х-9; 1) jlc-i+/2x-\ = 5; 8) у/2х—4—у/х+5 = 1; 9) */5х—4+^/2*— 1 = /Зх +1;

Ю) у/х+у/х+2=- -— у/х+2

О 1) (V^=2M(V^)³=2³)~(*-4=8)<wc=12.

2. ((_v/P^7)² = 3²H*²-7=9H*² = 16)o^₄'^4,

Подставив значения—4 и 4 в исходное уравнение, получим ^/(—4)² —7 = 3 и _ч/4² — 7 = 3, т. е. найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.

3) S*-*-6-1

лг>0 [ *^6

При решении этого уравнения мы использовали равносильные переходы, учитывая, что корень четной степени из положительного числа есть положительное число.

Г (чЛ² —12)²=(V*)², Г X²—х—12=0, Г Глг= —3,

< х^О, <»-< x^J\2 I лг=4 ох=4.

U>yi2 I I Х>/П

3. (х—5^0, Гх \3—х^0 [л

   Покажем, что данное уравнение не имеет решений. По определению корня четной степени получим

(х^5,

[х^З.

Эта система неравенств не имеет решения.

«[”ii.

|х-9>0 1x^9 \ _х>9

ох= 12.

[(_Ч/1^Т+_Ч/2^Т)² = 25, Г V(*-1X2*-0-27—3*,

7H™ ^{v 7} *>1,

t*⁵*¹ L 27—3x>0

(2yJ(x—l)(2x—1)² = (27—3x)², fx² —150x4-725 = 0,

X^l. o< <

■{

x49 \l<x<9

[x=5,

|_jc= 145 <=>x= 5.

Ых^9.

⁸> ■

2x—4>x+5 I x>9

L/2x-4—_x/x+5)² = l, f 2y/(2x—4)(x + 5)=3x, 2x—4>0, Ол x^>2₉

Глг²-24х+80=0, f Г*=4»

>< _л os I х=20,ox=20.

хЬ/2 |4/5^x<3/2

\6x²—x—5 = 0, f Г*——5/6,

<=>< o< x=l <=>x= 1.

(4/5<*^3/2 [ 4/5<x<3/2

10) T y/x+y/x+2 — " ,^С/х(хН-2)+х+2=4,^

v*⁺² (x3*0

f y/x-i

• x^O

⁶*=⁴> i/a

ox = 2 3.

0<x<2

С y/x²+2x=2-x, (_x² + 2x=4-4x+x², fi

4 Hi I0<x<2

51. He решая уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:

1. _N/^+T+v^+3=0; 2) _у/4х-3 = -4;

3. ^/х² + 2+у/2х-\ = -2-, 4) Уз^х-к/2^= -1;

2. у/х—7—у/б—х=3⁴, 6) у/х—у/—3—х= 1.

Решите уравнения:

51. 1) ^/х(х + 6) = х; 2) у/х=х—2;

2. у/х + 2 = х—4; 4) +9 = 2х —3;

4. у/х² — 9 = 3*— И; 6) _ч/х² + 5д:+1 =2х— 1;

5. -у/лг²—9=л:²—21; 8) у/х²-1=у/з.

51. 1) y/2x-l-y/x-l = U 2) У5л:+20-_ч/х+8=2; 3) УТ^ос+ +_N/l+x=l; 4) ^4—x+_n/5+x=3; 5) _v/25^x+_x/9+x=2;

_у/4х+2+_у/4х-2=4; 7) ^/8х+4-\/**-4=2; 8) у/х^Зх х 2х Н~ 2 = х+1.

51. 1) yJx+Ъ —y/l — 'x=_yj2x — 8; 2) y/x+1+у/х+2=у/Зх+\9; 3) ₄/3x+l+_v/4x-3 = _N/5x+4; 4) у/3х + 3+у/4х-4 = у/бх+13;

3. у/Зх+4—у/Зх—3 = у/2х—7;

7) ^1х~ - =. /у-1-9- . /7ХТ?_. /V — 1 =—