§ 6. Исследования на экстремум в задачах на объемы фигур вращения

24. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус с радиусом основания R и высотой Я, найти тот, у которого объем наибольший.

О Пусть г—радиус основания искомого цилиндра, a h—его высота (рис. 168). Из подобия треугольников АВ0₁ и АСС₁ имеем R/H=(R—r)lh, откуда h = H(R—r)/R. Подставив значение h в формулу объема цилиндра V=nr²h, получим

₇H(R—r) пН, ₂ V = кг — -=—(Яг²—г³); 0<r<R.

R R

Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной:

V'=—(2Rr-3r²); — (2Rr-3r²)=0; 2Rr-3r²=0; г(2Д-Зг)=0;

R R

r,= О, г₂=|д; V"^~(2R-6r); V"(2Rli)=-2nH.

Вторая производная при r=2R/3 отрицательна, следовательно, функция при r=2R/ 3 имеет максимум.

Найдем высоту искомого цилиндра:

_h H(R-2R/3) \_п

R 3

Итак, наибольший объем имеет конус с радиусом основания r=2R/3 и высотой Л=Я/ 3. ф

24. Из всех конусов, вписанных в шар радиуса R, найти тот, у которого объем наибольший.

О Пусть AD = r—радиус основания искомого конуса и DC=h—его высота (рис. 169). Из ABAC по теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике имеем AD² = BDDC, или r²=(2R—h)h. Под­ставив значение г² в формулу объема конуса V=nr²h/3, получим

V=^n(2R-h) h h=jn(2Rh²-h³); 0<h<2R.

Исследуем эту функцию на экстремум с помощью второй производной: V'=^]-n(4Rh-lh²); ^тс(4Л/г-ЗЛ²)=0; 4Яй-Зй²=0; й(4Л-Зй)=0;

1 2

Aj=0; 4R—3h=0; Л₂=-R; V"=-n(4R-6h)=-%(2R-3h)\

Г"(4Д/3)=^2Я-3 ^=^(-2яЛ)=-^.

*

Вторая производная отрицательна при Л=4/?/3; следовательно, функция при этом значении аргумента имеет максимум.

2ф. R

Найдем значение г при h=4R/3:

^! = (2Д-^ А^Д=^Цл=зД², т. I \ 3 ) 3 3 3 9

3

Таким образом, наибольший объем имеет конус с радиусом основания 2Rj2ft и высотой 4Л/3. ф

N.

Рис. 170

Рис. 171

24. Из всех цилиндров, вписанных в шар радиуса 5, найдите тот, у которого объем наибольший.

25. Открытый круговой цилиндрический желоб изготовляется из полосы жести шириной а см. При каком центральном угле а объем желоба будет наибольшим?

26. Из всех конусов с данной образующей / найдите тот, у которого объем наибольший.

27. Из бумажного круга радиуса R вырезан сектор и из оставшейся части круга склеена коническая воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим? Найдите радиус основания и высоту воронки.

§ 7. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла

Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) (a^x^b), осью Ох и прямыми х=а и х=Ь (рис. 170), вычисляется по формуле

ь

V=Ti\y²dx. (25.11)

а

Аналогично, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой х=ср (у) осью Оу и прямыми у=с и y=d, находится по формуле

&

V=n \x²dy. (25.12)

с

Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.

24. у² = 4х, у=0 и х = 4 вокруг оси Ох.

О Выполним построение (рис. 171). Фигура вращения представляет собой параболоид; пределы интегрирования а=0 и Ь=4. По формуле (25.11) получим

4

V=n$4xdx = 2их²1о = 32n(куб. ед.). ф

о

24. у = х² — 9 и у=0 вокруг оси Ох.

О Выполним построение (рис. 172). В силу симметрии фигуры относи­тельно оси Оу возьмем пределы интегрирования от 0 до 3, а затем полученный результат удвоим. По формуле (25.11) находим

^{3 3} Гх⁵

V/2=n $(х²—9)² dx=n\ (*⁴ — 18х² + 81 )dx=n ——6х³ + Ъ\х

О О L⁵

F= 2 129,6тг = 259,2я (куб. ед.). •

24. х—2у —|— 6 = 0, ^ = 0 и х = 2 вокруг оси Ох.

О Выполним построение (рис. 173). Прямая х—2>>+6=0 пересекает ось Ох в точке А(—6; 0); пределы интегрирования я = —6 и Ь = 2. Вычислим объем конуса, образованного вращением треугольника АВС, в котором сторона А В выражается уравнением у—(\/2)х+3:

V=k J^*+3^ dx=n J(^х² + 3x+9^dx=

-6 -6 Г*³ Зх² I² 2 ^=Я Т2^+_2"⁺⁹* _б=⁴²з^^кУ^б-^еД-)* •

24. x²/a²—y²/b² = 1, у = 0, х=а, х=2а вокруг оси Ох.

О Фигура вращения—гиперболоид. Из уравнения гиперболы имеем у² = (b²jа²)(х²—а²) (рис. 174). Следовательно,

2 а

V=n

%ab²—6ab² — ab² + 3ab² 4nab² = к =—-—(куб. ед.). ф

\у² — 9 (jc+3),

О Выполним построение фигуры (рис. 176). Решив систему <

[х—у + 3 = 0,

найдем точки пересечения параболы и прямой: А(—3; 0) и В (6; 9); пределы интегрирования а=— 3 и Ь = 6. Искомый объем равен разности объема V_t параболоида, образованного вращением кривой j>² = 9(jc+3), и объема V₂ конуса, образованного вращением прямой у = х+3\

V₁ = n j* 9(x+3)^=9tc|^^-+3xJ =364,57i;

(у² = 4х,

\у=*>

90. у =4х и у=х вокруг оси Ох.

найдем точки пересечения параболы и прямой: О (0; 0) и А (4; 4); следова­

тельно, пределы интегрирования я = 0, Ь—4. Искомый объем представляет собой разность объема Fj параболоида, образо­ванного вращением кривой у²=4х, и объ­ема У₂ конуса, образованного вращением прямой у=х:

4

Vi = nj4xdx=n2x²lo = 32n; о

1 2

V= — V₂ = 3271 — 21 -7i= 10-7i (куб. ед.). • 91. у² = 9(х+3) и х—у + 3 = 0 во-

О Выполним построение фигуры (рис. 175). Решив систему

⁴ Ь4к 1

= =21 -к;

круг оси Ох.

Рис. 176

i

,-,j,

х² dx = к —

_г=к J* (x+3)²t/x=^(x+3)³

б

= 243тг;

-з

V= V₁ — V₂ — 364,—243л = 121,5л: (куб. ед.). ф

Вычислите объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных заданными линиями:

92. 1) у² = х, у=0, х= \ и х=2; 2) у² = 2х, у=0, х=2 и х=4; 3) ² = блг, у=0, х=1 и х = 3; 4) у² = 2(х+2), у=0 и х=0 (во всех

случаях вокруг оси Ох).

92. 1) у=х²— 1 и у=0; 2) у = Зх—х² и у=0; 3) у= —х²—х и >>=0 (во всех случаях вокруг оси Ох).

93. х+2у—4=0, у = 0, .х = 0 вокруг оси Ох.

94. х²+у² = г², у = 0 вокруг оси Ох.

95. х²/а²+у²/Ь²=\, х=0

вокруг оси Оу.

92. 1) х²—у²=4, у=0, х=2, х=4; 2) х²/9 —у²/4=\, у=0, х = 3, х=6 (в обоих случаях вокруг оси Ох).

93. 1) 7 = sinA:, х = 0, х=к и ^ = 0; 2) у = cosx, у = 0, х=0, х = к/2 (в обоих случаях вокруг оси Ох).

94. у² = 9х и у=Зх вокруг оси Ох.

95. 1) у² = 4(х+2) и х—у + 2 = 0; 2) у²=4(х—2), ^=0, х=3 и х = 6; 3) j= — х² + 5х, 7=0, л:=0 и х=3; 4) >^² = 4(х+2) и х—у + 2 = 0 (во всех случаях вокруг оси Ох).