Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

§ 5. Объёмы фигур вращения

Объем цилиндра 0авен произведению площади его основания на высоту:

Vm„=nR2 Н. (25.5)

Объем конуса равен 1/3 произведения площади его основания на высоту:

V^ = X-nR2H. (25.6)

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле

+ (25.7)

где Rt и R2—радиусы кругов, лежащих в его основаниях, а Я—высота. Объем шара радиуса R вычисляется по формуле

Гшара = ^KR\ (25.8)

Объем шарового сектора вычисляется по формуле

^шар.сект = |^2Я, (25.9)

где R—радиус шара, а Я—высота шарового сектора.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле

ИШ11р.сег«=^Я2(ЗЛ-Д), (25.10)

где R—радиус шара, а Я—высота шарового сегмента.

  1. Диагональ прямоугольника составляет с одной из сторон угол а. Вычислите отношение объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольника около каждой из смежных сторон.

  2. Диагональ d осевого сечения цилиндра наклонена к плос­кости основания под углом а. Вычислите объем цилиндра.

  3. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна

S. Вычислите объем цилиндра.

  1. Из куба выточен цилиндр наибольшего объема. Сколько процентов материала при этом сточено?

  2. Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом а вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем фигуры вращения.

  3. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с радиусом R и центральным углом, равным а радиан. Найдите объем конуса.

  4. В прямоугольной трапеции основания равны а и b(b>a). Найдите отношение объемов фигур, образованных вращением трапеции вокруг оснований.

  5. Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба. Вычислите объем фигуры вращения.

  6. В конус вписан шар радиуса г. Радиус, проведенный в точку касания, образует с высотой конуса угол а. Найдите объем конуса.

  7. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г, обра­зующая наклонена к основанию под углом а. Найдите объем усеченного конуса.

  8. В усеченном конусе радиусы оснований равны 27 и И см; образующая относится к высоте, как 17:15. Найдите объем усеченного конуса.

  9. Усеченный конус с радиусами оснований 6 и 9 см и высотой 12 см пересечен двумя плоскостями, параллельными основаниям, которые делят высоту на три равные части. Найдите объем средней части конуса.

  10. Основания равнобедренной трапеции равны И и 21 см, а боковая сторона равна 13 см. Вычислите объем фигуры, образуемой при вращении этой трапеции вокруг ее оси.

  11. Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба. Найдите объем фигуры вращения.

  12. В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину / и наклонена к плоскости основания под углом а. Вычислите объем усеченного конуса.

  13. Диаметры трех шаров равны 6, 8 и 10 см. Найдите диаметр шара, объем которого равен сумме объемов этих шаров.

  14. Из куба выточен шар наибольшего объема. Сколько про­центов материала при этом сточено?

  15. Найдите отношение объемов вписанного в куб и описанного около этого куба шаров.

  16. Найдите отношение объемов цилиндра, шара и конуса, если диаметры оснований цилиндра и конуса и их высоты равны диаметру шара.

  17. Внешний радиус полого шара 9 см, толщина стенок 3 см. Найдите объем, заключенный между стенками.

  18. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на две части, равные 3 и 9 см. Найдите объемы соответствующих частей шара.

  19. Два равных шара размещены так, что центр одного находится на поверхности другого. Как относится объем их общей части к объему шара?

  20. Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60°. Вычислите объем сегмента.

  21. Радиус основания шарового сегмента 8 см, его высота 4 см. Вычислите объем сегмента.

  22. Радиус шара равен R, угол в осевом сечении шарового сектора 120°. Вычислите объем шарового сектора.

  23. Радиус окружности основания шарового сектора 60 см, радиус шара 75 см. Вычислите объем шарового сектора.

  24. Радиус шара равен R, дуга в осевом сечении шарового сектора а. Найти объем шарового сектора.

  25. Дуга в осевом сечении шарового сектора равна а, высота сектора равна /г. Найдите объем шарового сектора.

  26. Радиусы параллельных сечений шара 20 и 24 см, а радиус шара 25 см. Вычислите объем части шара, заключенной между этими сечениями (рассмотрите два случая).

  27. В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну сто­рону центра две параллельные плоскости, отстоящие от центра на 19 и 25 см. Вычислите объем части шара, заключенной между ними.