Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

§ 3. Объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле

^с.шф=^(51+ч/5^+^)Я, (25.4)

где S1 и S2—площади оснований усеченной пирамиды, а Я—ее высота.

  1. По боковому ребру / и сторонам основания а и Ъ вычислите объем правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех­угольной; 6) шестиугольной.

  2. Стороны оснований правильной пирамиды 4 и 8 см, ^ а диагональ равна 11 см. Вычислите объем пирамиды.

  3. Апофема правильной шестиугольной усеченной пирамиды равна 10 см, а высота равна 8 см. Сумма длин двух сторон верхнего и нижнего ее оснований равна 8^/з см. Вычислите объем пирамиды.

  4. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды накло­нены к плоскости большего основания под углом а, стороны оснований равны а и Ь (а >Ь). Вычислите объем пирамиды.

  5. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пира­миды наклонено к стороне большего основания под углом ср. Стороны оснований равны а и Ъ (а >Ь). Вычислите объем пирамиды.

  6. Стороны одного основания усеченной пирамиды равны 27, 29 и 52 см; периметр другого основания равен 72 см; высота пирамиды равна 10 см. Вычислите объем пирамиды.

  7. Большее основание усеченной пирамиды—прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости этого основания под углом а. Периметр метшего основания в п раз меньше периметра большего основания. Вычислите объем пирамиды.

§ 4. Исследования на экстремум в задачах на объемы многогранников

  1. Из всех прямых параллелепипедов с данной площадью полной поверхности s и квадратным основанием найти тот, который имеет наибольший объем.

О Пусть х—сторона основания параллелепипеда, а у—его вы­сота. Тогда площадь полной поверхности равна S=2x2+4xy, откуда y=(S—2x2)/(4x). Следовательно, объем параллелепипеда

V=x2y=x2^ Х =-Sx—\x3(0<2х2<S, 0<x<y/s/2).

4х 4 2

Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производ­ной:

V'=-AS-lx2; ls-^*2=0, x=Js/6=J6S/6; V"=-3x;

  1. 2 4 2

Вторая производная при x=y/6S/6 отри­цательна; значит, при этом значении аргумен­та функция имеет максимум.

м.

v Д-

50-2х ! 80-2)г _{_

5

с

1

X

Рис. 167

Найдем yj-2^16)2=7б5/6, т. е. 4(V6S/6)

высота параллелепипеда и сторона его основа­ния равны. Таким образом, из всех параллеле­пипедов, удовлетворяющих условиям задачи, наибольший объем имеет куб. ф

  1. Из прямоугольного листа жести со сторонами 80 и 50 см требуется сделать открытый сверху ящик наибольшего объема, отрезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать боковые стенки. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов (рис. 167)?

  2. Из всех прямых параллелепипедов с данным объемом V и квадратным основанием найдите тот, который имеет наименьшую площадь полной поверхности.

  3. Найдите размеры открытого (без крышки) ящика с квадрат­ным дном, имеющего наименьшую площадь полной поверхности при заданном объеме V.

  4. Вычислите размеры открытого ящика с квадратным дном, имеющего наибольший объем, если общая площадь поверхности боковых стенок и дна равна S.