§ 10. Задачи на составление квадратных уравнений

51. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 552. Найдите эти числа.

52. Числитель дроби на 2 меньше ее знаменателя. Если сло­жить эту дробь с обратной ей дробью, то в сумме получится 34/15. Найдите эту дробь.

53. Найдите двузначное число, если известно, что цифра еди­ниц искомого числа на 2 больше цифры его десятков и что про­изведение числа на сумму его цифр равно 144.

54. Периметр прямоугольника равен 42 см, а длина его диа­гонали равна 15 см. Найдите длины сторон прямоугольника.

55. Площадь прямоугольника равна 192 см², а его периметр равен 56 см. Найдите длины сторон прямоугольника.

56. Периметр прямоугольника равен 40 см, а сумма площа­дей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоуголь­ника, равна 208 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

57. Если каждый участник шахматного турнира сыграет по одной партии с каждым из остальных участников, то всего будет сыграно 153 партии. Сколько человек участвуют в турнире?

58. Две бригады, работая совместно, закончили уборку уро­жая на участке за 4 дня. За сколько дней закончила бы уборку урожая на этом участке каждая бригада в отдельности, если одна из бригад могла бы закончить уборку на 6 дней быстрее другой?

59. Две дорожно-ремонтные бригады, работая вместе, ремонти­ровали в день по 4,5 км пути. Вторая бригада работала на

дня меньше первой, но каждой бригаде пришлось отремонти­ровать по 20 км пути. Сколько километров пути каждая бригада ремонтировала в день?

УI

Uh. JV.IA

в) S) a) 6)

Рис. 1

Рис. 2

51. При испытании на экономичность двух двигателей одина­ковой мощности было установлено, что один израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384 г. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то за то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одина­ковым. Сколько бензина в час расходовал каждый двигатель?

52. Сумма длин окружностей переднего и заднего колес по­возки равна 5 м. На протяжении 60 м переднее колесо сделало на 9 оборотов больше, чем заднее на протяжении 63 м. Найдите длины окружностей колес.

53. По круговой дорожке длиной 2 км движутся в одном направлении два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 мин. Найдите часовую скорость каждого конькобежца, если первый из них пробегает окружность на 1 мин быстрее второго.

54. Расстояние между городами равно 960 км. Пассажирский поезд проходит это расстояние со скоростью, на 20 км/ч боль­шей, чем товарный. Найдите скорости поездов, если весь путь пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее товарного.

55. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 мин раньше назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью, меньшей на 1 км/ч, и прибыл на место назначения вовремя. Найдите скорость, с которой ехал велосипедист.

§ 11. Графическое решение квадратных неравенств

I

Квадратным неравенством называется неравенство вида ах² + Ьх+с>0 (или ax²+bx+c<fy, где аФ0.

Известно, что графиком функции у = ах² + Ьх+с является парабола с ветвями, направленными вверх при а>0 и вниз при а<0.

В зависимости от знака дискриминанта уравнения ах² + Ьх+с=0 возможны три случая:

1. Ь²—4ас>0 (уравнение имеет два различных корня и парабола пересекает ось Ох в двух точках; рис. 1 ,а, б);

2. Ь²—4яс=0 (уравнение имеет два равных корня и вершина параболы лежит на оси Ох; рис. 2, я, б);

3. Ь²—4ас<0 (уравнение не имеет корней и парабола не пересекает ось Ох; рис. 3, а, б).

Поэтому имеем шесть случаев различных положений параболы, являю­щейся графиком функции у—ах² Л-ЪхЛ-с (рис. 1—3).

Используя графики и знак дискриминанта, можно легко решать квадратные неравенства.

51. Решить неравенства: 1) 2x² + 3x—2>0; 2) 2л:² —х—3<0

2. -2*²+11*-14>0; 4) -3*² + 5*+12<0; 5) 9х² + 6*+1>0

6. — х² + 6х—9>0; 7) л;² + 8л:+16<0; 8) — х² + 10л;—25<0 9) 2*²-5х+7>0; 10) -Зх² + 2л;-2>0.

О 1) Здесь /(х) = 2х² + Зх—2, /> = 9+16 = 25>0; имеем (2х² + Ъх—2 —

ГХ\ = —2,

Парабола пересекает ось Ох в точках xi = —2 и х₂ =0,5. Так

как я = 2>0, то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1 ,а). Неравенство 2л: ² + Зл:—2 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох, т. е. в промежутках — оо<л:<—2 или 0,5<л:< + оо.

2) Здесь f(x) = 2x²—х—3, Z> = 1 +24=25>0, (2jc²—х—3=0)о

*i = -l, *₂=1,5^;

следовательно, парабола пересекает ось Ох в точках х₁ = — \ их₂ = 1,5. Ветви параболы направлены вверх, поскольку а>0 (см. рис. 1 ,а). Неравенство 2л:²—х—3 <0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат на оси Ох и ниже оси Ох, т. е. в промежутке — \^х^\,5.

2. Здесь /(*)=—2л:² + 11л:—14, D= 121 -112 = 9>0, (2л²— 11л+14=0>» х = 2

^ Парабола пересекает ось Ох в точках х_г = 2 и л:₂ = 3,5. Ветви

параболы направлены вниз, так как а=— 2<0 (см. рис. 1,6). Неравенство

• 2л:² + Ил:— 14>0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох, т. е. в промежутке 2<л:<3,5.

Данное неравенство можно решить и другим способом. Умножив обе его части на (—1), получим 2л:² — 11л: +14<0. Точки пересечения с осью Ох остаются прежними: л^ = 2 и л:₂ = 3,5, но а=2>0 (см. рис. 1 ,а). Неравенство 2л:² — Их +14<0 выполняется при значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох, т. е. в промежутке 2<л:<3,5. Получили тот же ответ.

2. Здесь /(л)= — Зл² + 5л+ 12, /) = 25 + 144= 169>0, (Зл:²-5л:-12 = 0)о _{х =} —3/4

^ ’ Парабола пересекает ось Ох в точках х₁ = —4/3 и л:₂ = 3. Ветви

параболы направлены вниз, поскольку а< 0 (см. рис. 1 ,б). Неравенство

• Зл:² + 5л:+ 12 <0 выполняется при значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох, т. е. в промежутках — со<х<— 4/3 или 3<л:< + оо.

2. Здесь /(л:) = 9л:² + 6л:+1, D = 36 — 36 = 0, (9л:² + 6л:+1 =0)о(л:= —1/3). Ветви параболы направлены вверх, так как а>0 (см. рис. 2,а). Неравенство 9л:² + 6х+1>0 выполняется при всех значениях х, кроме х= —1/3, поскольку все точки параболы, кроме точки касания, лежат выше оси Ох. Исключив точку х= —1/3, получим промежутки — оо <х< — 1 /3 или — 1 /3<х< + оо.

3. Здесь f(x)= — л:² + 6л:—9, Z> = 36—36=0, (л:²—6jc+9=0)о(х=3). Ветви параболы направлены вниз, так как а< 0 (см. рис. 2,6). Неравенство —л:² + 6л:—9>0 выполняется при значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох, но таких точек нет (ветви параболы направлены вниз). Следовательно, неравенство не имеет решения.

4. Здесь /(л:) = л:² + 8л:+16, Z) = 64 — 64 = 0, (х² + 8х+ 16 = 0)<Цл:= —4). Вет­ви параболы направлены вверх, поскольку а>0 (см. рис. 2, а). Неравенство л:² + 8л:+16<0 выполняется при значениях л:, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох, но таких точек у параболы нет (ветви параболы направлены вверх). Следовательно, неравенство не имеет решения.

2. Здесь /(х)= —х²4-10х—25, D= 100-100=0, (x²-10x4-25=0)o(x=5). Ветви параболы направлены вниз, так как а< 0 (см. рис. 2,6). Неравенство —х²+ 10х—25 < 0 выполняется при значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. Исключив точку х=5, получим промежутки

со<х<5 или 5<х<+оо.

2. Здесь /(х) = 2х² —5x4-7, Z>=25 — 56 <0. Парабола не пересекает ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, так как а>0 (см. рис. 3,а). Неравенство 2х² —5x4-7 >0 выполняется при всех значениях х, поскольку все точки параболы лежат выше оси Ох; поэтому — оо<х< + оо.

3. Здесь /(х)= — Зх²4-2х—2, D=4—24<0. Парабола не пересекает ось Ох. Ветви параболы направлены вниз, так как а< 0 (см. рис. 3,6). Неравенство — Зх²4-2х—2>0 выполняется при всех х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох, но таких точек нет (ветви параболы направлены вниз). Неравенство не имеет решения, ф

х— 1

51. Решить неравенство ->0.

2x4-1

О Умножив обе части неравенства на положительное число (2x4-1)², равное квадрату знаменателя, получим равносильное неравенство (х— 1)(2х4-1)>0, где а=2>0 и х_х = —1/2, х₂= 1. Ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1 ,а), и следовательно, неравенство выполняется при тех х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох. Решением неравенства являются промежутки —оо<х< —1/2 или 1 <х< 4-оо.

51. Решите неравенства:

1. Зх²+7х-6>0; 2) -4х² + 13л+12>0;

2. х² — 5х+6<0; 4) — *²+2л:+8<0;

4. 4х²-4х+1>0; 6) -9х²+ 12х-4>0;

7. —х² +12х—36^0; 8) 16х²-8л:+1 <0;

8. 2х²-4х+13>0; 10) -3.х²+2л:-5>0;

2. Зх²—2*+5<0; 12) — 4л:²+*—5<0; 13) — 3jc² + 5jc+2>0; 14) л:² — 8х—20^0; 15) —х²—6х+27<0; 16) 2л:²-13х+20>0; 17) 2л:²—л:+4<0; 18) -л:² + 12х-36<0; 19) jc² — 1 >0; 20) л:²—4<0; 21) 2л:²-5х<0; 22) -л:² + 3л:>0.

51. Решите неравенства:

_1Ч 2х—3 2—Зх _л 8 —Зх _л

‘> 3*^2^{> ; 2}> 2х+1^ ³⁾ 7x^2 ’

2. 5i±5<0.

Зх—7