Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

§ 3. Сфера, шар

Уравнение сферы с центром в точке О (а; b; с) и радиусом R имеет вид (х—а)2 + (у—b)2 + {z—c)2 = R2.

  1. Дана сфера x2+y2 + z2 = 450. Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку Л(4; 5; 3).

О Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку А (4; 5; 3), имеет вид

(*4)/4=(у—5)/ 5 = (z—3)/3.

Запишем эти уравнения в параметрическом виде:

(х-4)/4=/; (y—5)/5 = t; (z-3)/3 = f,

x=4+4t; ^=5 + 5/; z=3 + 3/. (*)

((4+4r)2+(5 + 5f)2+(3 + 3/)2=450)o(r2 + 2*-8=0)o(f1 = -4; /2 = 2)*^ w

Подставляя теперь найденные значения t в соотношения (*), получим' две точки пересечения сферы и прямой: (—12; —15; —9) и (12; 15; 9). #

  1. Найти расстояние от точки А(6; —3; —2) до сферы х22 + +z2 = 9.

О Находим расстояние от начала координат до точки А (6; —3; —2);

имеем ОА = у/б2+(—3)2+(—2)2 = 7. Так как радиус сферы равен 3, то расстояние от точки А до сферы равно 7—3 = 4. #

  1. Найдите координаты точек пересечения сферы x2+y2+z2 = = R2 с осями координат.

  2. Составьте уравнение сферы с центром S и радиусом R, если:

  1. S(2; 3; 4), 5; 2) S(-3; 0; 4), Л = ч/2.

  1. Даны точки А(-1; 3; 2), 5(0; 3; 1), С(2; -2; 0), Я(-4; 2; 2). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром S (—2; 1; 0) и радиусом 3?

  2. Найдите центр и радиус сферы: 1) x2+y2 + z2 = 16;

  1. (x-l)2+(y + 3)2 + (z-5)2 = 36; 3) x2-6x+y2 + 8y + z2-4z+4=0;

x2 + 10a:-|->'2 + 2j>+z2 + 6z— 1=0.

  1. Сфера проходит через точку А(—3; 4; —2), а ее центр находится в начале координат. Составьте уравнение сферы.

  2. Сфера имеет центр в точке С (2; — 1; 3) и проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы.

  3. Точка А (4; — 2; 3) лежит на сфере с центром С(2; —3; — 1). Составьте уравнение сферы.

  4. Дана сфера *2+>>2+z2 = 200. Найдите координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А (5; —3; 4).

  5. Найдите расстояние: 1) от точки А(\\ — 2; 2) до сферы x2+y2+z2=16; 2) от точки А(2; 4; 3) до сферы (х+1)2 + (>>+2)2 + +(z—1)2 = 4.

  6. Радиус сферы равен 70 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 24 см от точки касания. Найдите ее кратчайшее расстояние от поверхности сферы.

  7. Сфера x2+y2+z2 = 9 пересечена плоскостью. Найдите коор­динаты центра О и радиус г сечения, если известно уравнение этой плоскости: 1) z=l; 2) у = 2.

  8. Какая фигура является пересечением сферы jc2+j>2 + z2 = 4 и плоскости: 1) х = 2; 2) х—у= 1?

  9. Сфера, радиус которой равен R, пересечена плоскостью на расстоянии а от центра. Вычислите площадь сечения.

  10. Вычислите отношение площади сечения, проведенного на расстоянии т от центра сферы, к площади большого круга. Радиус сферы равен R.

  11. Радиус сферы равен R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом а к нему. Вычислите площадь сечения.

  1. Радиус сферы равен R. На ее поверхности даны точка и окружность. Точка удалена (по прямой) от всех точек окружности на расстояние а. Найдите радиус этой окружности.